Орієнтовний опорний конспект проекту

Хід уроку

1. Організаційні питання.

2. Перегляд проекту «Історія виникнення і розвитку науки комбінаторики».

Комбінаторика — гілка математики, що вивчає комбінації та перестановки предметів — виникла XVII ст. Із задачами, в яких доводиться вибирати ті чи інші предмети, розміщувати їх в певному порядку і відшуковувати серед різних розміщень найкращі, люди стикнулися ще в доісторичну епоху, обираючи найкращі розміщення мисливців під час полювання, воїнів під час битви, інструментів під час роботи. Певним чином розташовувалися прикраси на одязі, візерунки на кераміці. З ускладненням виробничих і суспільних відносин ширше доводилося користуватися загальними поняттями про порядок, ієрархію, групування. В тому ж напрямку діяв розвиток ремесел торгівлі. Комбінаторні навички виявилися корисними і в години дозвілля. Не можна точно сказати, коли поряд зі змаганнями з бігу, метання диска, стрибках з’явились ігри, що потребували в першу чергу вміння розраховувати, складати плани і спростовувати плани противника.

Комбінаторика в Єгипті

Серед предметів, покладених в піраміду, де 35 століть тому був похований єгипетський фараон Тутанхамон, знайшли розкреслену дощечку з трьома горизонталями і 10 вертикалями та фігурки для давньої гри «сенет», про правила якої ми, можливо, ніколи не дізнаємось. Згодом з’явились нарди, шашки й шахи, а також їх різноманітні варіанти (китайські та японські шахи, японські облавні шашки «го» тощо). У кожній із цих ігор доводилося розглядати різноманітні комбінації фігур, що мали здатність пересуватись, та вигравав той, хто їх краще вивчив, знав переможні комбінації та вмів уникати програшів. Звичайно, в цей період ніхто й не здогадувався про науку, що розглядає рішення комбінаторних задач.

Комбінаторика в Китаї

Перша згадка про питання, близькі до комбінаторних, зустрічається в китайських рукописах, що відносяться до ХІІ-ХІП ст. до н. е. У цих книгах написано, що усе в світі є поєднанням двох початків — чоловічого та жіночого, які автори позначали символами «інь» та «янь». У рукописі «Же-ким» («Книга перемін») показані різні з ’єднання цих знаків по два і по три. Вісім малюнків з трьох рядів символів відображали землю, гори, воду, вітер, грозу, вогонь, хмари і небо. Сума перший 8 натуральних чисел (тобто число 36) втілювала в уяві стародавніх китайців весь світ. Згодом виникла потреба виразити й інші елементи за допомогою Знаків «інь» та «янь». Були складені 64 фігури, що складалися з п’яти рядів рисочок.

У рукописі «Же-ким» є і більш складні малюнки. Як стверджує переказ, імператор Ію, котрий жив приблизно 4000 років тому назад, побачив на березі річки священну черепаху, на панцирі якої був зображений малюнок з білих і чорних кружків. Якщо замінити кожну фігуру відповідним числом, з ’являється така: таблиця, де при додаванні чисел в кожному рядку, стовпчику та по діагоналі отримаємо одне і те саме число 15.

Комбінаторика в Древній Греції

Конкретні комбінаторні задачі, що торкалися перерахунку невеликих груп предметів, греки розв’язували без помилок. Арістотель описав без пропусків всі види правильних тричленних силогізмів, а його учень Аристоксен з Тарента перерахував різноманітні комбінації довгих і коротких складів у віршових розмірах. Математик Папп (IV ст. н. е.) роздивлявся число пар і трійок, які можна отримати з трьох елементів.

Напевно, у грецьких вчених були якісь невідомі нам, правила комбінаторний розрахунків, які швидше за все були невірними. Схоласт Раймонд Люллій створив у XIII ст. машину, що складалася з кількох кіл, на які було нанесень основні предикати, суб’єкти, атрибути та інші поняття схоластичної логіки. Повертаючи ці кола, він отримував різні суміщення понять і сподівався отримати з їх допомогою істину.

Комбінаторика в країнах Сходу

У VIII ст. н. е. почався розквіт арабської науки. Араби переклали багато творів грецьких учених, вивчили їх, а потім досягли успіхів у науці про розв’язання рівнянь (саме слово «алгебра» — арабського походження), теорії та практиці обчислень. Вирішуючи питання про знаходження коренів з будь-якого степеня, арабські алгебраїсти вивели формулу для степеня суми двох чисел, яка відома під не зовсім правильною історичною назвою «біном Ньютона». Напевно, саме цю формулу знав поет і математик Омар Хайям (ХІ-ХІІ ст. н. Є.).

Роботи Паскаля і Ферма дали поштовх для народження двох нових гілок математичної науки — комбінаторики і теорії ймовірностей. Якщо до них комбінаторні проблеми порушувалися у загальних працях із астрології, логіки і математики, що значною мірою вважалось математичною розвагою, то вже у 1666 р. Готтфрід Вільгельм Лейбніц публікує «Дисертацію про комбінаторне мистецтво», в котрій вперше з’явився термін «комбінаторика». Проекти Лейбніца Здавалися нездійсненними тогочасним математикам, але тепер, після створення ЕОМ, багато планів Лейбніца почали втілюватися у життя, а дискретна математика виросла настільки, що вступило в суперечну із класичним математичним аналізом.

В 1713 р. була опублікована книга «Мистецтво припущень» Якоба Бернуллі, в якій вказувались формули для числа розміщень з елементів по , виводились вираження для степеневих сум тощо. Чудові досягнення в області комбінаторики належать одному 3 найбільших математиків XVIII ст. Леонарду Ейлеру, швейцарцю, що прожив майже все життя в Росії, де був членом Петербурзької академії наук. Основна частина наукової робота Ейлера присвячена математичному аналізу, в якому він проклав нові шляхи, створив цілий ряд нових областей.

Після робіт Паскаля і Ферма, Лейбніца і Ейлера можна було вже говорити про комбінаторику як про окрему, самостійну гілку математики, тісно пов’язану з іншими областями науки, такими, як теорія ймовірностей, вчення про ряди тощо. У кінці XVII ст. німецький учений Гінденбург та його учні зробили спробу побудувати загальну теорію комбінаторного аналізу. Проте вона не мали успіху — в той час ще не було накопичено достатньої кількості важливих і цікавих задач, які могли б дати необхідний фундамент для такої теорії.

III. Актуалізація опорних знань.

Дата добавления: 2015-05-23