Метод Мілна-Сімпсона

Лістинг 1.

function [x,y]=adams(y0,a,b,n)

% adams – метод Адамса-Бешфорса-Маултона

% Права частина диференціального рівняння - в функції f(x)

% >> [x,y]=adams(y0,a,b,n)

% Вхідні аргументи:

% y0 – початкове значення;

% a, b – межі інтервалу;

% n – кількість підінтервалів

% Вихідні аргументи:

% x – вектор вузлів, в яких знайдений розв’язок;

% y – вектор зі значеннями функції-розв’язку у вузлах х

if a>=b

error('Неправильні межі (a<b)');

end

h=(b-a)/n;

[x,y]=runge4(y0,a,a+3*h,3);

for i=4:n

p=y(i)+h/24*(-9*f(x(i-3),y(i-3))+37*f(x(i-2),y(i-2))-59*f(x(i-1),y(i-1))+55*f(x(i),y(i)));

x(i+1)=x(i)+h;

y(i+1)=y(i)+h/24*(f(x(i-2),y(i-2))-5*f(x(i-1),y(i-1))+19*f(x(i),y(i))+9*f(x(i+1),p));

end

Інший розповсюджений метод прогнозу-корекції – метод Мілна-Сімпсона. Його прогноз базується на інтегруванні функції f (x, y (x)) на інтервалі [ x_{i -3}, x_{i +1}]

(10)

Прогноз використовує наближення поліномом Лагранжа для f (x, y (x)), побудований по точках (x_{i -3}, f_{i -3}), (x_{i -2}, f_{i -2}), (x_{i -1}, f_{i -1}) та (x_i, f_i). Інтегруємо його на інтервалі [ x_{i -3}, x_{i +1}] і отримуємо прогноз Мілна:

(11)

Коректор отримуємо аналогічно. На цьому етапі можна використовувати значення p_{i +1}. Будуємо наступний поліном Лагранжа для функції f (x, y (x)) по точках (x_{i -1}, y_{i- 1}), (x_i, y_i) і новій точці (x_{i +1}, f_{i +1}) = (x_{i +1}, f (x_{i +1}, p_{i +1})). Інтегруємо поліном на відрізку [ x_{i -1}, x_{i +1}] і в результаті отримаємо відому формулу Сімпсона:

(12)

Оцінка помилки та корекція. Залишковий член формули чисельного інтегрування використовується для отримання як прогнозу, так і коректора порядку О(h ⁵). ЛПВ для формул (11) та (12) дорівнює

(ЛПВ для прогнозу)	(13)
(ЛПВ для коректора)	(14)

Припустимо, що крок h настільки малий, що y ⁽⁵⁾(x) майже стала на інтервалі . Тоді з формул (13) і (14) можна виключити члени, які містять похідну п’ятого порядку, і в результаті отримати формулу:

(15)

Формула (15) дає оцінку прогнозу, яка базується на обчисленні значень і та не використовує . Її можна використовувати для покращення значень прогнозу. Якщо припустити, що різниця між значеннями прогнозу і корекції на кожному кроці змінюється повільно, то можна підставити і замість і в (15) та отримати наступний управляючий параметр:

.

(16)

Його значення використовується замість на кроці корекції, і формула (12) приймає вигляд:

(17)

Таким чином, покращений модифікований метод Мілна-Сімпсона має вигляд:

(прогноз) (управляючий параметр) (коректор)

(18)

Дата добавления: 2015-05-23