Інтерполяція функції поліномом Ньютона

Шифр 88888

Виконавець студент групи (код групи) (Прізвище й ініціали)

Керівник (посада викладача) (Прізвище й ініціали)

Дніпропетровськ

Рік виконання (наприклад, 2012)

=================================================================

(З нової стор. - 2)

З М І С Т

Постановка задачі................................................................................................................... 3

Реферат................................................................................................................................... 4

Вступ...................................................................................................................................

1. Інтерполяційний поліном Ньютона (ІПН)..............................................................

2. Опис обчислювального алгоритму..........................................................................

3. Обговорення результатів............................................................................................

Висновки.............................................................................................................................

Список посилань................................................................................................................

Додатки:..............................................................................................................................

А. Опис вихідних даних та результатів розрахунку...................................................

Б. Лістинг програми.......................................................................................................

В. Схема обчислювального алгоритму.........................................................................

=================================================================

(З нової стор. - 3)

Постановка задачі

Знайти наближене значення функції y(x) = 5*sіn x – 10*3^-x у точках x = 0.60 та х=0.6375, 1.1125 за допомогою ІПН (1.1), побудованого за її відомими трьома значеннями у точках

x₀=a=0.4, x₁=0.875, x₂=b=1.35 (k₁ = 5, k₂ = - 10, k₃ = 2/9).

Оцінити похибку інтерполяції в точці x = 0.60 за формулою (1.2).

Окрім того, знайти y(x) – P₂(x) і порівняти з | r₂(x)|.

=================================================================

(З нової стор. - 4)

Р Е Ф Е Р А Т

Задача наближення функцій взагалі полягає в заміні аналітично або таблично заданої функції y(x) зручною для обчислень апроксимувальною функцією j(x), яка б для всіх необхідних нам значень аргументу задовольняла співвідношення y(x)» j(x).

Цієї мети досягають уведенням вектора вільних параметрів (невідомих коефіцієнтів) C=(C₁,...,C_n) в j(x) [тобто j(x)= j(x;C)] і його визначенням з прийнятої умови близькості функцій y(x) та j(x). Звичайно, вважається, що у випадку табульованої функції y(x) її графік є плавна крива [1].

Інтерполяція

Якщо за умову близькості j(x) і y(x) взяти їх збіжність в n точках (вузлах інтерполяції) x_і(), то C визначають як результат розв'язання такої системи алгебричних рівнянь (САР):

j(x_і;C) = y(x_і) (). (1)

Це так звана лагранжова інтерполяція.

Якщо компоненти вектора С_і () входять до виразу j(x_і;C) лінійно, тоді інтерполяцію називають лінійною, у протилежному випадку - нелінійною.

Лінійна інтерполяція

Задача істотно спрощується, якщо j(x) має вигляд узагальненого полінома

j(x;C) =, (2)

де j_k(x) - система лінійно незалежних функцій.

Підставивши (2) до (1), одержимо для визначення C таку СЛАР:

= y(x_і) (). (3)

Для єдиності розв'язку задачі інтерполяції визначник цієї СЛАР (3) не повинен перетворюватись на нуль (природно, серед вузлів інтерполяції не повинно бути збіжних).

Найзручнішими для обчислень функцій є алгебричні поліноми j_k(x)=x^k ( ). Причому для зручності вузли інтерполяції нумерують від 0 до n.

Про застосування та збіжність інтерполяції

Окрім основної задачі інтерполяції (відновлення значення функції за відомими) її застосовують для тестування таблиць на наявність несистематичних похибок (друга ПР поводить тоді себе хаотично), субтабулювання (зменшення кроку існуючої таблиці) та оберненої інтерполяції (знаходження значення аргументу для заданого чи відомого значення функції).

Похибку алгебричної інтерполяції можна зменшити двома шляхами - зберегти степінь полінома, а крок зменшити, або зберегти крок, збільшивши кількість використовуваних вузлів. У практичних розрахунках збільшення n небажане (бо призводить до збільшення похибки), тому для підвищення точності інтерполяції доцільно обмежитися 3 - 5 вузлами (точніше, вільними параметрами) і зменшити крок таблиці, не змінюючи n.

Дата добавления: 2015-05-23