КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Метод ітерації
Алгоритм для системи нормального вигляду 1. Привести до нормального вигляду. 2. Обчислити q= |αij|. 3. Перевірити умову q<1. Якщо не виконується, то метод не можна застосовувати. 4. Визначити допустиму похибку ε1= •ε. 5. Вибрати початковий розв’язок xi(0) = βi. 6. Обчислити нове наближення уі, якщо відоме попереднє хі. 7. Перевірити умову |у - x | < ε1. Якщо виконується, то процес закінчити; якщо ні, то → 6.
N=5 DIM B(N), A(N,N), X(N),Y(N), P(N) INPUT A,B,EPS FOR I= 1 TO N S=0 FOR j=1 TO N S=S+ABS(A(i,j)) NEXT j IF (S<1) THEN 10 PRINT (“Метод не застосовується”) GOTO 30 10 P(I)=S ‘ P(I)= |αij| <1 NEXT i Q=P(1) FOR i=2 TO N IF Q<=P(i) THEN Q=P(i) NEXT i EPS= (1-Q)*EPS/Q ‘ε1= ·ε FOR I=1 TO N X(i)=B(I) NEXT i 9 H=0 FOR i=1 TO N T=0 FOR j=1 TO N T=T+A(i,j)*X(j) NEXT j Y(i)=T+B(i) C=ABS(Y(i)-x(i)) IF C>H THEN H=C NEXT i FOR I=1 TO N X(i)=Y(i) NEXT i IF H>=EPS1 THEN 9 PRINT(“Розв'язок”, X(i)) END
Метод ітерацій Зейделя (ітерації) Метод ітерацій Зейделя відрізняється від методу ітерацій тільки одним: виразами для отримання невідомих на наступній ітерації, тобто x[1]= 1-xo[2]+2xo[3]-3xo[4] x[2]= 4+3x[1]-xo[3]-2xo[4] x[3]= 6+2x[1]+3x[2]+xo[4] x[4]= 4+x[1]+2x[2]+3x[3] Приклад, x1+x2+2x3+3x4=1 x1=1-x2-2x3-3x4 3x1-x2-x3-2x4=-4 ==> x2=4-3x1-x3-2x4 2x1+3x2-x3-x4=-6 x3=6+2x1+3x2-x4 x1+2x2+3x3-x4=-4 x4=4+x1+2x2+3x3 program ite 2 label mitka 1, mitka 2; var m, k max, i, j: integer; x: array [1…4] of real; x0: array [1…4] of real; eps: real; begin write (‘eps=’); readln (eps); write(‘max=’); readln(max) x0[1]:=1; x0[2]:=-4; x0[3]:=-6; x0[4]:=-4; mitka 1: k:=0; k:=k+1; x[1]:=1-x0[2]-2*x0[3]-3*x0[4]; x[2]:=; x[3]:=; x[4]:=4+x0[1]+2*x0[2]+3*x0[3]; m:=0; for i:=1 to 4 do if ABS(x[i]-x0[i])<eps then m:=m+1; if m=4 then begin for i:=1 to 4 do write(‘x(‘,i,’)=’,x[i]); write(‘eps=’,eps); go to mitka 2; end; if k=max then begin write(‘меод не збігається,k=’,k), go to mitka 2; end; else begin for 1:=1 to 4 do x0[i]:=x[i]; go to mitka 1; end; mitka 2; end. Обчислення значень елементарних функцій. 1. Обчислення значень алгебраїчних багаточленів за схемою Горнера [2n-1 множень, n- додавань, а в схема - n- множень та n- додавань, на множення йде більше часу ніж на додавання].
Теорема Безу. Залишок від ділення поліному на двочлен дорівнює значенню цього поліному при . 2. Обчислення значень аналітичної функції основується на представленні її у вигляді швидко збіжного ряду Тейлора. Нехай треба розрахувати значення аналітичної функції на відрізку [a,b] в точці , що належить відрізку з заданою гранично допустимою абсолютною похибкою ε. - залишковий член у формулі Лагранжа. , ζ- деяка точка, що строго лежить між і Отже Qn(x)+Rn(x*), де Qn(x)- n-a частина суми ряду Qn(x)= , 0!=1, Rn(x*)- значення залишкового члену при Rn(x*)= залишковий член у формі Лагранжа ζ- деяка точка, яка строго лежить між і при . Оскільки похідна неперервна на відрізку [a, b], то вона обмежена на цьому відрізку , тобто Отже - похибка і (5), - мах. похибка, де . Недолік - нерівномірна точність апроксимації функції на відрізку [a,b]. Приклад: апроксимувати функцію многочленом Тейлора на відрізку [0.1], з абсолютною похибкою ≤ 10-5. Рішення: вибираємо х0 = ½, тобто середину відрізку [0,1], щоби мінімізувати величину в формулі (5). Тоді Згідно (5)
Врахуємо
Отже n=6
Алгоритм. 1. вибирають на відрізку [a,b] точку х=с по можливості близьку до і таку, що саму функцію та її похідну легко можна розрахувати при х=с. 2. Представляють похибку , де - залишкова похибка (похибка методу), - гранично допустима абсолютна похибка обчислення , - гранично допустима абсолютна похибка заокруглення результату. На практиці беруть ε= 10-m, ε3=0.5*10-m, а ε1= ε2=0.25*10-m. Якщо похибка кінцевого заокруглення відсутня, то приймають ε1= ε2=0.5* 10-m, ε3=0. 3. Вибирають число доданків в так, щоб 4. Розраховують кожен доданок суми Qn(x) так щоб наближене значення відрізнялось від точного не більш ніж на ε2. За звичай для цього кожен доданок з абсолютною похибкою .
5. Отриману в пункті 4 наближену суму заокруглюють якщо ε3 до . 6. Записують розв’язок . 3. Ітераційний метод обчислення значень функцій. (m=2,3) в інтервалі (о, ) Алгоритм: 1. Функцію (1) записують в неявному вигляді і підставляють в отриманий вираз замість його значення : Розв’язком цього рівняння і буде шукане значення функції . 2. Рівняння (2) розв’язують методом Ньютона: початкове наближення у0 вибирають так, щоб виконувалась умова (3), а кожне наступне значення уn обчислюють за формулою (4) (n=1,2…) Представлення функцію (1) в неявному вигляді (2) можна здійснити безліччю способів. Серед всіх треба вибрати такий, щоб ітераційний процес (4) збігався швидко. Приклад, умова (3) для кореня буде , а (4)
Похибка наближеного значення уn оцінюється так: Обчислити е2.25 з точністю ε=0.01 , 0< - це є формула Тейлора для в околі точки з залишковим членом у формулі Лагранжа. як при великих х ряд Тейлора збігається повільно то значення варто обчислювати у формі . можна розрахувати з будь-якою точністю, тому похибка =0 Похибку заокруглення та обчислення постав.=0,005. Тоді похибка обчислення Ми звели обчислення з точністю до обчислення з точністю Нехай Визначимо n.
Враховуючи, що , отримаємо . Отже, потрібно розрахувати таку суму S3= 1+0.25+0.252/2!+0.253/3! З абсолютною похибкою 0.0003 ε=0,01
залишковий член у формі Лагранжа ζ- деяка точка, яка строго лежить між і при . Оскільки похідна неперервна на відрізку [a, b], то вона обмежена на цьому відрізку , тобто Отже - похибка і (5), - мах. похибка, де . Недолік - нерівномірна точність апроксимації функції на відрізку [a,b]. Приклад: апроксимувати функцію многочленом Тейлора на відрізку [0.1], з абсолютною похибкою ≤ 10-5. Рішення: вибираємо х0 = ½, тобто середину відрізку [0,1], щоби мінімізувати величину в формулі (5). Тоді Згідно (5)
Врахуємо
Отже n=6
Дата добавления: 2015-05-23; Просмотров: 441; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |