КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Апромаксимація. Метод найменших квадратів
Інтерполяційний багаточлен Лангранжа Ln(x) = yiLi(n)(x) – в обчислення вводяться зразу всі точки Li(n)(x) = Коефіцієнти Лангранжа які задовільняють умовам: Li(n)(xі) =1, Li(n)(xj) = 0 при i≠j
Блок-схема алгоритму Це є глобальна інтерполяція, тобто випадок коли експериментальне значення замінюються деякою функцією, яка описує їх у всіх точках x0, x1, x2…,xn. Тобто інтегральна функція повинна проходити через всі експериментальні точки. Їх вигляд L(x) = y0l0(x)+ y1l1(x) +…+ ynln(x) Тобто вона є лінійною комбінацією многочленів степені n. Многочлени li(x)вибираються із таких умов. l0(x)=1 в точках х=х0 і l0(x)=0 у всіх інших точках l1(x)=1 в точках х=х1 і=0 у всіх інших точках ln(x)=1 в точках х=хn i=0 у всіх інших точках l0(х)= l1(x)= . . . li(x)=
Із збільшенням n труднощі побудови інтерполяційного багаточлену зростають суттєво. Але необхідність в точному відтворенні функції виникає не завжди і часто достатньо мати багаточлен значно меншого степені наприклад, лінійну функцію або квадратний тричлен, що відтворюють основні закономірності досліджуваної залежності. Тому, природньо поставити задачу про визначення баготочлену більш низького степені m<n Pm(x)=amxm+am-1xm-1+...+a0 (1) “віддаль” між ним і функціє F(x), в деякому змісті, мінімальна. Такий багаточлен називається апроксимуючим. Він згладжує локальні особливості заданої експериментальної таблиці і відображає загальну поведінку функції f(x) вздовж всього інтервалу зміни. Розглянем метод найменших квадратів, що розв’язує цю задачу. Нехай задана таблиця значень функції y=f(x) {xі,yі} i=1,n Апроксимуюча функція шукається у вигляді Y=j(x,a1,…am), де a1,…am параметри, що потрібно визначити. Обчислимо (2) при х=xi Y1=j(x,a1,…am), і=1,n.
Між досліджуваною і апроксимуючою функціями є відмінність, яку оцінимо за допомогою суми квадратів різниць їх значень: S=S(a1,…am)= (3) параметри a1,…am знайдемо із умов min похибки апроксимації S (4) отримуємо суму m-рівнянь для визначення m- невідомих параметрів.1 Апроксимація багаточленом. Нехай апроксимуюча функція (2) має вигляд Y=a1x+a0 Тоді (3)Þ , а рівняння (4) будуть такими або (5)
Звідки коефіцієнти а0 і а1 визначаються однозначно. Якщо апроксимуюча функція має вигляд (1), то коефіцієнти а0,...аm визначаються із системи лінійних рівнянь R0a0 + R1a1 +…+ Rmam = B0 R1a0 + R2a1 +…+ Rm+1am = B1 (6) . . . Rma0 + R m+1a1 +…+ R 2mam = Bm, де
Rk = , де k=0,2m (7) Bj = , j = 0,m
Приклад, задана таблиця значень max i min ємності шести “підстроювальних конденсаторів”. Потрібно апроксимувати ці дані лінійною залежністю.
R0a0+R1a1 = B0 R1a0+R2a1 = B1
Згідно (5) Þ (2) 20.72а1 + 4.55а0 = 10.48 (1) 4.55а1 + 1а0 = 2.30 а1 = -0.86 а2 = 1.60 Апроксимуючою функцією буде у=0.86х – 1.60 В статистиці цю залежність називають рівнянням регресії у по х. Похибка середньоквадратичної апроксимації функції визначається виразом: D = [ ]1/2
Алгоритм
Рекурсивні алгоритми. Циклічні обчислювальні алгоритми в яких значення деякої функції (або функцій) на кожному наступному кроці обчислень залежить від значень цієї ж функції, отриманого на попередньому кроці обчислень, називають рекурсивними алгоритмами. Обчислення функції при цьому проводяться за рекурсивними формулами. Прикладом є запис х=х+1; рекурсивними є алгоритмидля розв’язування таких задач як знаходження суми та добутку скінченного числа доданків; суми нескінченого ряду3; уточнених коренів лінійних рівнянь; знаходження max (min) значення із деякої множини значень. Рекурсивні алгоритми можуть бути скінченими та інтераційними.
Алгоритм обчислення суми ¥ ряду з заданою точністю ε: S = 1+ = |a| - приріст суми. Цей алгорим є ітераційним.
Дата добавления: 2015-05-23; Просмотров: 711; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |