Теоретичні відомості. Вивчення коливальних процесів

Вивчення коливальних процесів

Мета роботи: дослідити вільні, згасаючі та вимушені коливання, визначити циклічну частоту вільних коливань, логарифмічний декремент згасання згасаючих коливань і дослідити явище резонансу.

У цій роботі досліджуються вільні, згасаючі і вимушені коливання. Розглянемо ці коливання на прикладі матеріальної точки. Вільні коливання матеріальна точна виконує лише тоді, коли на неї діє сила F, значення якої прямо пропорційне зміщенню х точки від положення рівноваги. Таку силу називають квазіупружною (F= к х).За умови, коли крім квазіупружної, на точку діє ще й сила опору, якапрямо пропорційна швидкості (F=- r v), коливання будуть згасаючими. Коливальна система під час таких коливань поступово втрачатиме свою енергію, і амплітуда коливань зменшуватиметься з часом. Якщо ж на матеріальну точку, поряд із двома згаданими силами, діє ще й зовнішня періодична сила F=F₀cos ω_вt, тоді коливання будуть вимушеними.

Закони динаміки, які описують ці три види коливань запишемо так:

m a =-k x (1)

m a =-k x -r v (2)

m a =-k x - r v + F ₀ cos t (3)

де х -зміщення, v - швидкість, a – прискорення точки, що коливається, r – коефіцієнт опору, F ₀ і ω_в – амплітуда і циклічна частота зовнішньої пе­ріодич­ної сили. Врахуємо тепер, що а =d^2­­­­ x/ d^­­­­ t², v= d^­­­­ x/ d^­­­­ t. Це дає змогу легко звести рівняння (1) - (3) до вигляду диференціальних рівнянь другого порядку.

Для вільних коливань рівняння (1) буде мати вигляд

d^2­­­­ x/ d^­­­­ t²+ ω₀ ² х = 0, (4)

де ω₀ = – циклічна частота вільних(власних) коливань.

Для згасаючих коливань рівняння (2) буде мати вигляд:

+ ω₀ ²x=0 (5)

де β= – коефіцієнт згасання.

Для вимушених коливань рівняння (3) буде мати вигляд:

+ ω₀ ²x= t (6)

Розв`язком рівняння (4) є

x = A ₀cos(ω₀t+φ), (7)

де A ₀ і ω₀ – амплітуда і частота вільних коливань, φ – початкова фаза.

Розв`язком рівняння (5) є

x = A ₀exp(-β/t)cos(ωt+φ), (8)

де A ₀ – початкова амплітуда згасаючих коливань, ω= – частота згасаючих коливань.

Розв`язком рівняння (6) є

де A _в і ω_в – амплітуда і частота вимушених коливань, причому

A _в= ( 10 )

Як бачимо, амплітуда згасаючих коливань зменшується з часом за законом експоненти, а амплітуда вимушених залежить від співвідношення частот ω_в і ω₀.

Тепер проаналізуємо рівняння, які описують вимушені коливання. Із (9) і (10) легко бачити, що частота вимушених коливань відповідає частоті ω_в, а амплітуда коливань A _взалежить від співвідношення між частотою власних коливань системи ω₀ і частотою зовнішньої збуджувальної сили ω_в. За наближенням частоти зовнішньої сили до частоти власних коливань зонансистеми амплітуда коливань різко збільшується. Таке явище називається резонансом, а частоту, за якої амплітуда коливань досягає максимального значення, - резонансною. Зі співвідношення (10) і наведених вище міркувань легко довести, що

ω_рез= . (19)

Отже, резонансна частота завжди менша від частоти власних коливань, якщо в системі діють сили опору. Експериментально ω_рез визначають як частоту зовнішньої сили (у цій роботі це частота коливань шатуна), за якої простежується максимум амплітуди коливань.

Частота вільнихколиваньмаятника , де ‑ період коливань, ‑ кількість коливань, ‑ час, протягом якого виконується коливань. Циклічна частота:

(1)

Для згасаючих коливань їхня амплітуда змінюється за експоненціальним законом:

. (2)

Відношення двох послідовних амплітуд є сталим, не залежить від їхніх значень і називається декрементом згасання, логарифм цього відношення називається логарифмічним декрементом згасання:

. (3)

Нехай у момент часу амплітуда згасаючих коливань:

, (4)

а в момент часу

. (5)

Розділивши почленно ці вирази, одержимо:

. (6)

Після логарифмування

,

звідки

, (7)

де ‑ коефіцієнт згасання, що є фізичною величиною, оберненою до проміжку часу , протягом якого амплітуда коливань зменшується в разів.

Логарифмічний декремент згасання

(8)

‑ це фізична величина, обернена до кількості коливань , протягом яких амплітуда коливань зменшується в разів, .

Установка (рис. 1) змонтована на основі , що має чотири ніжки, висоту яких можна змінювати (вирівнювати установку).

Рис. 1. Фізичний маятник.

На основі закріплена колонка та електронний блок , який складається з мілісекундоміра , лічильника періодів , електропривода шатуна, кнопок керування. На колонці закріплені два кронштейни. До верхнього кронштейна прикріплені підвіски,в які на підшипниках вмонтовано маятник і шатун. На стержні маятника закріплені переривач світлового потоку та прапорець , за допомогою якого змінюють силу опору маятника. Вимушені коливання збуджують за допомогою диска, закріпленого на валу електродвигуна, який коливає шатун, з’єднаний пружиною зі стержнем маятника. До шатуна прикріплений переривач світлового потоку, за допомогою якого визначають частоту шатуна (частоту змушуваної сили). До нижнього кронштейна прикріплена кутова шкала, за допомогою якої визначають амплітуду коливань маятника. У кронштейн вмонтований фотоелектричний датчик, який підчас проходження через нього переривача світлового потоку вмикає мілісекундомір та лічильник кількості коливань.

Дата добавления: 2015-05-24