Метод найменших квадратів

Екстремум функції двох змінних.

Нехай функція визначена у деякому околі точки . Якщо має в точці екстремум і, крім того, має в точці частинні похідні першого порядку, тоді в цій точці вони дорівнюють нулю (необхідна умова екстремуму):

(21)

Нехай у точці можливого екстремуму і у деякому її околі функція має неперервні частинні похідні другого порядку. Побудуємо такий визначник:

Тоді (достатня умова екстремуму):

1). якщо , тоді в точці функція має екстремум, причому при - локальний мінімум, а при - локальний максимум;

2). якщо , тоді в точці функція не має екстремуму;

3). якщо , тоді в точці функція може мати, а може і не мати екстремуму (потрібні додаткові дослідження).

Приклад 1. Дослідити на екстремум функцію

Знаходимо точку можливого екстремуму:

Далі обчислюємо визначник (22): . Оскільки , тоді в точці дана функція має локальний мінімум.

Приклад 2. Дослідити на екстремум функцію .

Маємо:

.

У точці і . Отже, в цій точці екстремум може бути, а може і не бути. У даному випадку екстремум існує, оскільки у всіх точках за винятком точки (функція зростає ліворуч і праворуч від точки ) і у точці , тобто дана функція в цій точці має локальний мінімум.

Приклад 3. По розташованим на координатній площині п експериментальним точкам встановити вигляд функції , яка б добре описувала ці експериментальні значення (задача інтерполяції).

Розглянемо, наприклад, лінійну інтерполяцію: . Зрозуміло, що ця формула є наближеною. Тому, підставляючи значення координат експериментальних точок у цей вираз, отримуємо такі рівності

де - деякі похибки (відхилення). Отже, задача полягає у тому, що необхідно підібрати такі коефіцієнти k і b, щоб похибки були якнайменшими за абсолютною величиною. Для цього використаємо метод найменших квадратів.

Розглянемо суму квадратів похибок:

.

Таким чином, наша задача зводиться до знаходження таких коефіцієнтів і , за яких функція має мінімум:

Отримана система (23) називається нормальною системою методу найменших квадратів. З цієї системи знаходимо коефіцієнти і та відповідно шукане рівняння прямої .

Нарешті, легко показати, що функція має локальний мінімум у точці . Дійсно, і

.

Дата добавления: 2015-05-24