Пряма називається нахиленою асимптотою графіка функції при , де

При дослідженні поведінки функції на нескінченності та поблизу точок розриву (невизначеності) часто виявляється, що графік функції як завгодно близько наближається до тієї чи іншої прямої. Такі прямі називаються асимптотами. Існують три види асимптот: вертикальні, горизонтальні і нахилені.

. (18)

Якщо коефіцієнт , тоді така асимптота називається горизонтальною .

Пряма називається вертикальною асимптотою графіка функції , якщо (або ).

Приклад 2. Знайти асимптоти графіка функції .

За формулою (18) знаходимо коефіцієнти і нахиленої асимптоти:

Отже, пряма є нахиленою асимптотою графіка даної функції як при , так і при . Оскільки , то горизонтальних асимптот немає.

Нарешті, точка є точкою розриву даної функції , причому . Отже, пряма (вісь ординат) є вертикальною асимптотою функції , графік якої показано на Рис. 3.4.

20

у

10

0

0 х

-10

-20

-2 -1 0 1 2

Рис. 3.4. Графік функції

Наведемо загальну схему для побудови графіка функції :

1. Знайти область визначення функції.

2. Знайти точки перетину графіка функції з віссю ординат (покласти у формулі, яка задає функцію, х = 0) і віссю абсцис (розв’язати рівняння )

3. Знайти асимптоти функції.

4. Дослідити функцію на екстремум: знайти точки мінімуму, максимуму, а також точки перегину. Обчислити значення функції у цих точках. Встановити ділянки монотонності функції.

5. Побудувати схематичний графік функції .

При побудові графіка важливо врахувати його симетрію. Для цього корисно перевірити функцію на парність (непарність).

Зауваження. Функція називається парною (непарною), якщо виконується умова: .

Також важливо перевірити функцію на періодичність: , де – період функції .

Приклад 3. Побудувати графік функції .

Згідно з наведеною вище схемою:

1. Область визначення функції (точка х = 1 є точкою розриву).

2. Графік даної функції перетинає вісь ординат у точці (при ). Оскільки рівняння не має дійсних коренів, то графік даної функції взагалі не перетинає вісь абсцис.

3. Дослідимо поведінку функції поблизу точки розриву х = 1. Маємо: . Отже, пряма х = 1 є вертикальною асимптотою. За формулами (18) знаходимо:

+ max – – min +

1 x

Рис. 3.5. Дослідження функції на екстремум

Отже, пряма є нахилена асимптота даної функції. Горизонтальних асимптот немає.

4. Знайдемо першу похідну функції і прирівняємо її до нуля:

Відмітивши ці точки на осі х (Рис. 3.5), дослідимо їх на екстремум. Отже, є точкою максимуму, , а є точкою мінімуму, . Функція зростає на інтервалах і . Функція спадає на інтервалі . З’ясуємо, чи має дана функція точку перегину. Знайдемо її другу похідну:

. Отже, точок перегину функція немає.

5. Дана функція не є парною і не є непарною. Її графік наведено на Рис. 3.6.

40 y

30

20

10 1- 0

0 1 x

-10 1+

-20

-30

-40

-2 -1 0 1 2 3

Рис. 3.6. Графік функції

Дата добавления: 2015-05-24