Асимптоти графіка функцій

Дослідження функції на екстемум.

Формула Тейлора.

Нехай функція має в точці і деякому її околі похідні порядку п +1. Це означає, що функція та її похідні до порядку п включно неперервні і диференційовні в цьому околі. Тоді справедлива формула Тейлора

де деякий залишковий член, причому при (0!=1 у формулі (17)).

Отже, формула Тейлора надає можливість розкласти функцію у степеневий ряд в околі деякої точки .

Зауваження. Формулою Маклорена називають формулу Тейлора (17) при .

Приклад 1. Знайти .

Маємо невизначеність . Розкладемо функції і у ряд Маклорена з необхідною точністю:

Тоді маємо:

Приклад 2. Знайти .

Маємо невизначеність . Розкладемо функцію в ряд Маклорена: У результаті отримуємо:

.

Нехай функція диференційована на інтервалі . Точка називається точкою екстремуму, якщо .

Точка екстемуму називається локальним мінімумом (максимумом), якщо ліворуч від цієї точки і праворуч від цієї точки.

Крім того, у точці локального мінімуму (максимуму) справедливе співвідношення .

Точка називається точкою перегину, якщо 1) і 2) має різні знаки ліворуч і праворуч від точки .

Приклад 1. Дослідити функцію на екстремум.

Знаходимо похідну і прирівнюємо її нулю: . Отже, точками екстремуму є і . Відмітивши їх на осі х (Рис. 3.1), дослідимо на її верхній частині знак похідної функції в околі цих точок екстремуму, а в її нижній частині – інтервали монотонності даної функції. У результаті маємо: на інтервалі () (функція зростає), на інтервалі (функція спадає), і, нарешті, на інтервалі (функція знову зростає). Це означає, що функція у точці має локальний максимум , а у точці х= 1 – локальний мінімум . Дійсно, і .

+ max – min +

x

1

Рис. 3.1. Дослідження функції на екстремум

– +

х

Рис. 3.2. Дослідження функції на перегин

Дослідимо, чи має дана функція точку перегину. Для цього знайдемо другу похідну і прирівняємо її до нуля: . З

Рис. 3.2 видно, що має різні знаки ліворуч і праворуч від точки і, отже, дана точка є точкою перегину функції . Її графік наведено на Рис. 3.3.

4 у

2

0 1 х

-2

-4

-2 -1 0 1 2

Рис. 3.3. Графік функції

Дата добавления: 2015-05-24