Числові послідовності. Границя послідовності

Якщо кожному числу п з натурального ряду чисел 1,2...п,... поставлено у відповідність дійсне число , тоді множина дійсних чисел називається числовою послідовністю. – загальний елемент послідовності , п – його номер.

Послідовність вважається заданою, якщо вказаний спосіб отримання будь-якого її елемента, наприклад, формула задає послідовність 2, ,...

Послідовність , називається обмеженою, якщо існують такі числа т і М , що будь-який елемент цієї послідовності задовольняє нерівності: . Число – найменше значення , а число – найбільше значення .

Послідовність називається необмеженою, якщо цієї послідовності, який задовольняє нерівність: .

Число а називається границею послідовності , якщо , що виконується нерівність .

Послідовність , яка має границю а, називається збіжною:

або при (3)

Послідовність, яка не є збіжною, називається розбіжною.

Приклад 1. Користуючись означенням границі послідовності, доведемо, що

Згідно з означенням: Звідси випливає, що як номер N можна взяти будь-яке ціле число, яке задовольняє нерівність . Тоді нерівність буде виконуватись

Приклад 2. Знайти

Послідовність називається зростаючою , якщо ; неспадною, якщо ; спадною, якщо ; незростаючою, якщо . Усі такі послідовності називаються монотонними. Монотонна обмежена послідовність збігається (за теоремою).

Приклад 3.

1. спадна і обмежена (m= 0, M= 1). .

2. зростаюча і обмежена (m= , M= 1). .

3. зростаюча і необмежена.

4. незростаюча і обмежена (m= 0, M= 1).

5. 1,1,2,2,... n, n... – неспадна і необмежена.

6. зростаюча і обмежена (m= 2, M=е).

(число е).

Дата добавления: 2015-05-24