С учетом временной структуры процентных ставок

ПАРАМЕТРЫ ОПТИМАЛЬНОЙ СТРАТЕГИИ УПРАВЛЕНИЯ

При этом для оптимального значения длительности периода времени между поставками (обозначим его через Топт) также выполняется неравенство

Т_опт < Т₀,

где через Т₀ обозначена длительность периода времени между поставками, соответствующая классическим рекомендациям без учета временной стоимости денег, при которой объем партии заказа составляет q₀.

Насколько велико соответствующее расхождение для этих основных параметров стратегии управления запасами и какие возможности для повышения эффективности системы дает учет временной стоимости издержек можно будет увидеть из дальнейшего анализа.

Понятно, что в рамках рассматриваемой модели далее достаточно указать алгоритм определения оптимального размера заказа q_опт. Для его нахождения составим уравнение f’(q) = 0, т.е.

.

Понимая, что для интересующего нас корня q_опт этого уравнения имеет место неравенство q_опт < q₀ будем искать оптимальный размер заказа в виде q_опт = q₀ / z, где z >1, причем здесь величина 1/ z показывает, какая именно доля от значения q₀ (экономичного размера заказа, но без учета временной стоимости денег) определяет оптимальное решение (но уже для модели с учетом процентных ставок). Подставляя в последнее равенство выражение q₀ / z вместо q получаем уравнение относительно z:

или

.

После очевидных упрощений имеем:

.

Наконец, учитывая равенство получаем следующее уравнение относительно неизвестного z в области z > 1:

.

Как видим, мы получили уравнение третьей степени относительно неизвестного z (в области z > 1). Это уравнение уже приведено к так называемому «неполному» виду, когда отсутствует член, содержащий z², т.е. к виду z³ + pz + g = 0.

При этом, подчеркнем, что в нашей ситуации имеет место «неприводимый» случай, причем выполняются неравенства p < 0 и g < 0. В такой ситуации удобно для решения уравнения использовать подход тригонометрического метода решения. Тогда интересующий нас корень указанного кубического уравнения (обозначаем его через z₀) определяется по формулам (см., например, [Г.Корн, Т.Корн – Справочник по математике для научных работников и инженеров. – М., Наука, 1974]):

, где .

Применительно к интересующему нас уравнению получаем формулы, позволяющие находить корень z₀:

,

где

.

Наконец, при известном значении z₀ оптимальная величина размера заказа q_опт для рассматриваемой модели управления запасами с учетом временной стоимости денег находится, окончательно, по формуле

q_опт = q₀ / z₀.

ЗАМЕЧАНИЕ. Обратите внимание на следующий факт. Анализ полученных результатов для оптимальной стратегии управления запасами показывает, что в рамках рассматриваемой модели исследуемый параметр (q_опт – оптимальный размер заказа) не зависит от показателя Р_П, характеризующего прибыль на единицу товара, обеспечиваемую работой соответствующего звена цепи поставок. Действительно, ни значение , ни значение z₀, ни значение q₀, определяющие интересующий нас показатель q_опт, не зависят от величины Р_П. При этом, само максимальное значение интенсивности потока доходов (целевая функция F в исходной постановке задачи оптимизации), естественно, уже будет зависеть от указанного показателя.

ПРИМЕР 2.2. Для иллюстрации соответствующих процедур нахождения параметров оптимальной стратегии управления запасами рассматриваемой модели с учетом временной стоимости денег, а также для иллюстрации отклонений основных показателей такой оптимальной стратегии по сравнению с рекомендациями классического подхода (без учета временной структуры процентных ставок) рассмотрим следующую условную ситуацию. Пусть

· D=800 (ед. тов.) – объем годового потребления (при постоянном спросе);

· C_о=20 (у.е.) – накладные издержки на одну поставку (т. е. стоимость подачи заказа);

· C_п=100 (у.е.) – стоимость единицы товара;

· Р_п=50 (у.е.) – прибыль от реализации единицы товара;

· C_h=20 (у.е.) – годовые издержки хранения единицы товара, составляющие 20% стоимости товара.

Дополнительно, для удобства дальнейшего сравнения результатов с аналогичными, но уже для классической модели без учета временной стоимости денег, полагаем C_оп=0 (например, соответствующие издержки уже включены в стоимость товара). Кроме того, принимаем, что годовая ставка наращения составляет 20%, т.е. r=0,2.

Найдем параметры оптимальных стратегий управления запасами как для модели с учетом временной структуры процентных ставок, так и для классической модели (без учета таковой), и сравним их между собой.

РЕШЕНИЕ. Прежде всего отметим, что в рамках классической модели управления запасами с постоянным спросом согласно формуле Уилсона для рассматриваемой ситуации соответствующее оптимальное значение q₀ объема партии заказа (экономичный размер заказа) без учета временной стоимости денег составит:

При этом соответствующий период повторного заказа будет равен (года), что соответствует 20 поставкам за год.

Для нахождения оптимальной стратегии для данной ситуации, но уже с учетом временной стоимости денег, предварительно находим значение соответствующего :

.

т.е.cosa = 0,009.

Затем, переходя к (как видим, для данной ситуации он, практически, соответствует 90°) находим значение После этого определяем значение величины z₀:

т.е. (с точностью до 10^-3).

ЗАМЕЧАНИЕ. В соответствии с принятыми численными значениями показателей, характеризующих рассматриваемую систему управления запасами, полученное ранее кубическое уравнение относительно неизвестного z (для определения ) имеет в этой ситуации вид

Отметим, что при найденном в этом примере значении левая часть этого равенства принимает значение

.

Как видим, при выбранной точности расчетов для (до 10^-3) получаем достаточно хорошее приближение. Положительный знак для получившегося значения левой части уравнения (+0,00118) показывает, что при более точном определении ответ будет несколько меньшим (например, проверьте значение z₀ @ 1,4168, которое даст более точное приближение при точности до 10^-4).

Определив значение , переходим к анализу основных параметров оптимальной стратегии управления запасами в рамках рассматриваемого примера. А именно, соответствующее оптимальное значение q _опт размера партии заказа с учетом временной стоимости денег для рассматриваемого случая составляет

Соответственно длительность оптимального периода T _опт между поставками равна

Итак, если не учитывать временную структуру процентных ставок, то рекомендуемое теорией значение экономичного объема заказа в рамках рассматриваемого примера равняется q₀ =40 (при этом длительность периода между поставками составляет T₀ =0,05). Учет временной стоимости издержек/доходов приводит соответственно к оптимальным значениям этих показателей q_опт @ 28 (при T_опт =0,03527). Как видим, отклонение для размера партии заказа составляет около 12 ед. тов. (при рекомендации 40 ед. тов. на основе традиционного подхода в соответствии с формулой Уилсона), что соответствует ошибке порядка 43%. Понятно, что такая ошибка приведет к существенному изменению стратегии управления запасами и, кроме того, может значительно отразиться на показателе эффективности работы системы. В частности, оценим соответствующее отклонение показателя интенсивности доходов в рамках рассматриваемого примера для интересующих нас двух случаев:

1) при T=T_опт =0,03527 (стратегия реализуется с учетом временной стоимости издержек/доходов);

2) при T=T₀ =0,05 (стратегия реализуется без учета временной стоимости издержек/доходов).

Случай 1. При стратегии, использующей показатели T_опт и q_опт для интенсивности доходов F_max (годовой) имеем:

Случай 2. При стратегии, использующей соответственно показатели T₀ и q₀ для интенсивности доходов F₀ (годовой) имеем:

Как видим, разница F_max - F₀ в интенсивности доходов (годовой) для этих случаев по анализируемому виду товара имеет порядок 100 у.е. (за год). Такое расхождение интенсивностей доходов может, на первый взгляд, показаться не очень значительным. Однако, необходимо еще учесть, что в реальных системах управления запасами соответствующий перечень номенклатуры товаров может измеряться сотнями и даже тысячами наименований. Поэтому суммарный показатель возможного повышения эффективности системы за счет учета временной структуры процентных ставок по всей группе товаров может оказаться весьма существенным.

ОСОБЕННОСТИ ОПТИМАЛЬНОЙ СТРАТЕГИИ ПРИ ВЫПЛАТЕ ИЗДЕРЖЕК ХРАНЕНИЯ В СЕРЕДИНЕ ПРОМЕЖУТКА ВРЕМЕНИ

Дата добавления: 2015-05-08