Уравнение Лиувилля

Уравнение Лиувилля описывает эволюцию во времени функции распределения (плотности вероятности) гамильтоновой системы в -мерном фазовом пространстве ( — количество частиц в системе). Рассмотрим гамильтонову систему с координатами и сопряжёнными импульсами , где , . Тогда распределение в фазовом пространстве определяет вероятность того, что система будет находиться в элементе объёма своего фазового пространства.

Уравнение Лиувилля описывает эволюцию во времени согласно правилу нахождения полной производной функции с учётом несжимаемости потока в фазовом пространстве:

Производные фазовых координат по времени для гамильтоновых систем описываются согласно уравнениям Гамильтона:

Простое доказательство теоремы состоит в наблюдении, что эволюция определяется уравнением неразрывности (непрерывности):

где — скорость перемещения исследуемого объёма фазового пространства:

и замечанием, что разность между этим выражением и уравнением Лиувилля определяется только слагаемым описывающим дивергенцию, а именно её отсутствие, что означает отсутствие источников или стоков плотности вероятности:

где — гамильтониан, и были использованы уравнения Гамильтона. Это можно представить как движение через фазовое пространство «потока жидкости» точек системы. Теорема означает, что производная Лагранжа илисубстанциональная производная плотности равна нулю. Это следует из уравнения непрерывности, так как поле скоростей в фазовом пространстве бездивергентно, что в свою очередь вытекает из гамильтоновых уравнений для консервативных систем.

Дата добавления: 2015-05-09