Функциональные элементы и схемы

Некоторые приложения теории булевых функций

Суперпозиция функций. Замыкание набора функций.Замкнутые классы функций. Полные наборы. Базисы

Нахождение сокращенной ДНФ по таблице истинности (карты Карно)

Доказано, что любую функцию (кроме тождественного нуля) можно представить в виде СДНФ. На практике часто бывает удобно получить (вместо СДНФ) как можно более “короткую” ДНФ. Словам “короткая ДНФ” можно придать разный смысл, а именно:

ДНФ называется минимальной, если она содержит наименьшее число букв (разумеется, среди всех ДНФ ей равносильных); ДНФ называется кратчайшей, если она содержит минимальное число знаков дизъюнкции Ú; тупиковой, если уничтожение одной или нескольких букв в ней приводит к неравной ДНФ и сокращенной ДНФ, если ее упрощение проведено с помощью правила Блейка.

На практике наиболее важной представляется нахождение минимальной ДНФ, но алгоритм ее нахождения по существу является вариантом перебора всех равносильных ДНФ. Алгоритмически проще всего находить сокращенную ДНФ (эти алгоритмы были даны в разд. 3). Заметим, что если функция п переменныхзаданасвоейтаблицей истинности, топравило Блейка имеет простой геометрический смысл. Именно, если все возможные наборы переменных представить себе как вершины п -мерного куба со стороной равной 1 (всего вершин будет 2 ^п) в декартовой системе координат, то надо отметить те вершины, на которых значение функции равно 1, и если какие-то из этих единиц лежат на “прямой”, “плоскости” или “гиперплоскости” в п -мерном пространстве, то в сокращенную ДНФ будут входить “уравнения” этих прямых или гиперплоскостей по известному правилу: если в это уравнение входило составной частью х = 0,то в сокращенную ДНФ входит , если х = 1, то просто х. Разумеется, геометрически все это изобразить можно только при п = 2, 3.

Карты Карно позволяют эти геометрические идеи использовать при п = 3, 4, 5, для функций, заданных своей таблицей истинности. При больших п картыКарнопрактическинеиспользуются. Рассмотрим отдельно (и более подробно) случаи п = 3, 4.

Составляем таблицу истинности для данной конкретной функции п = 3 в виде таблицы, приведенной в примере 5.1. (Заметим, что для х ₁и х ₂естественный порядок набора переменных здесь нарушен. Это сделано для того, чтобы при переходе от данного к следующему набору переменных в этом наборе менялась только одна цифра). Прямая содержит 2 вершины, плоскость – 4, гиперплоскости – 8, 16 и т. д. вершин, поэтому объединять можно 2 рядом стоящие единицы или 4, 8, 16 и т. д. Карты Карно соединяются “по кругу”, т. е. наборы (10) и (00) считаются рядом стоящими.

Пример 5.1. Пусть задана функция:

Видно, ее СДНФ содержит (по числу 1) 6 дизъюнктных слагаемых, но ее сокращенная ДНФ содержит (после объединения единиц) всего 2 буквы

f = x ₁Úx₂

Пример 5.2. Следующий пример показывает, “как соединять единицы по кругу”.

Здесь сокращенная ДНФ содержит 2 слагаемых (СДНФ содержала бы 5):

Пример 5.3. Пример показывает использование карт Карно при п = 4.

Здесь сокращенная ДНФ содержит 4 слагаемых (СДНФ содержит 8):

При п = 5 использование карт Карно является несколько более сложным и здесь не приводится.

Пусть имеется некоторый набор K, состоящий из конечного числа булевых функций. Суперпозицией функций из этого набора называются новые функции, полученные с помощью конечного числа применения двух операций;

можно переименовать любую переменную, входящую в функцию из K;

вместо любой переменной можно поставить функцию из набора K или уже образованную ранее суперпозицию.

Суперпозицию еще иначе называют сложной функцией.

Пример 6. 1. Если дана одна функция х | y (штрих Шеффера), то ее суперпозициями, в частности, будут следующие функции x|x, x| (x|y), x| (y|z)и т. д.

Замыканием набора функций из K называется множество всех суперпозиций. Класс функций K называется замкнутым, если его замыкание совпадает с ним самим.

Набор функций называется полным, если его замыкание совпадает со всеми логическими функциями. Иначе говоря, полный набор – это множество таких функций, через которые можно выразить все остальные булевы функции.

Неизбыточный полный набор функций называется базисом (“неизбыточный” означает, что если какую-то функцию удалить из набора, то этот набор перестанет быть полным).

Пример 6.2. Конъюнкция, дизъюнкция и отрицание являются полным набором (в этом убедились в разд. 5), но не являются базисом, так как это набор избыточен, поскольку с помощью правил де Моргана можно удалить конъюнкцию или дизъюнкцию. Любую функцию можно представить в виде полинома Жегалкина (разд. 6). Ясно, что функции конъюнкция, сложение по модулю 2 и константы 0 и 1 являются полным набором, но эти четыре функции также не являются базисом, поскольку 1+1=0, и поэтому константу 0 можно исключить из полного набора (для построения полиномов Жегалкина константа 0 необходима, поскольку выражение “1+1” не является полиномом Жегалкина).

Легко видеть, что одним из способов проверки полноты какого-то набора К является проверка того, что через функции из этого набора выражаются функции другого полного набора (можно проверить, что через функции из К можно выразить конъюнкцию и отрицание или дизъюнкцию и отрицание.

Существуют такие функции, что одна такая функция сама является базисом (здесь достаточно проверить только полноту, неизбыточность очевидна). Такие функции называются шефферовскими функциями. Это название связано с тем, что штрих Шеффера является базисом. Напомним, что штрих Шеффера определяется следующей таблицей истинности:

Так как очевидно , т. е. отрицание является суперпозицией штриха Шеффера, а дизъюнкция тогда , штрих Шеффера сам является базисом. Аналогично, стрелка Пирса является шефферовской функцией (студенты могут проверить это сами). Для функций 3-х или более переменных шефферовских функций очень много (конечно, выражение других булевых функций через шефферовскую функцию большого числа переменных сложно, поэтому в технике они редко используются).

Заметим, что вычислительное устройство чаще всего базируется на полном наборе функций (часто на базисах). Если в основе устройства лежат конъюнкция, дизъюнкция и отрицание, то для этих устройств важна проблема минимизации ДНФ; если в основе устройства лежат другие функции, то полезно уметь алгоритмически минимизировать выражения через эти функции.

Перейдем теперь к выяснению полноты конкретных наборов функций. Для этого перечислим 5 важнейших классов функций:

• Т ₀ – это набор всех тех логических функций, которые на нулевом наборе принимают значение 0 (Т ₀ – это класс функций, сохраняющих 0);
• Т ₁ – это набор всех логических функций, которые на единичном наборе принимают значение 1 (Т ₁ – это класс функций, сохраняющих единицу) (заметим, что число функций от п переменных принадлежащих классам Т₀ и Т₁ равно 2^2n-1);
• L – класс линейных функций т. е. функций, для которых полином Жегалкина содержит только первые степени переменных;
• М – класс монотонных функций. Опишем класс этих функций более подробно. Пусть имеются 2 набора из п переменных: s1 = (x₁, x₂,..., x_n)

s₁= (х ₁, х ₂, …, х_п)и s ₂= (y ₁, y _2, …, y_п). Будем говорить, что набор s ₁ меньше набора s ₂ (s ₁ £ s ₂), если все х_i £ y_i. Очевидно, что не все наборы из п переменных сравнимы между собой (например, при п = 2наборы (0,1) и (1,0) не сравнимы между собой). Функция от п переменных называется монотонной,если на меньшем наборе она принимает меньшее или равное значение. Разумеется, эти неравенства должны проверяться только на сравнимых наборах. Понятно, что несравнимые наборы – это те, в которых есть некоторые координаты типа (0,1) в одном наборе и (1,0) в другом на соответствующих местах (в дискретной математике монотонные функции это только как бы “монотонно возрастающие функции”, “монотонно убывающие” функции здесь не рассматриваются).

Пример. В нижеследующей таблице функции f ₁, f ₂ являются монотонными функциями, а функции f ₃, f ₄– нет.

x	y	f 1	f 2	f 3	f 4

Естественный порядок переменных обеспечивает тот факт, что если какой-то набор меньше другого набора, то он обязательно расположен в таблице истинности выше “большего” набора. Поэтому если в таблице истинности (при естественном порядке набора переменных) вверху стоят нули, а затем единицы, то эта функция точно является монотонной. Однако возможны инверсии, т. е. единица стоит до каких-то нулей, но функция является все равно монотонной (в этом случае наборы, соответствующие “верхней” единице и “нижнему” нулю должны быть несравнимы;можно проверить, что функция, задаваемая таблицей истинности при естественном порядке набора переменных (00010101), является монотонной);

• Класс S – класс самодвойственных функций. Функция п переменных называется самодвойственной, если на противоположных наборах она принимает противоположные значения, т. е. самодвойственная функция f (x ₁, x ₂,…, x_n)удовлетворяет условию f (x₁,x₂,..., x_n) =. Например, функции f _1, f ₂ - являются самодвойственными, а функции f _3, f ₄ – не являются.Нетрудно устанавливается следующий факт.

Теорема. Классы функций Т ₀, Т ₁, L, M, S замкнуты.

Это утверждение следует непосредственно из определения самих этих классов, а также из определения замкнутости.

В теории булевых функций очень большое значение имеет следующая теорема Поста.

Теорема Поста. Для того чтобы некоторый набор функций K был полным, необходимо и достаточно, чтобы в него входили функции, не принадлежащие каждому из классов T ₀, T ₁, L, M, S.

Заметим,чтонеобходимостьэтогоутвержденияочевидна,таккакеслибы всефункцииизнабора К входиливодинизперечисленныхклассов,тоивсесуперпозиции,азначит,изамыканиенаборавходилобывэтотклассикласс К немогбытьполным.

Достаточностьэтогоутверждениядоказываетсядовольносложно,поэтомуздесь не приводится.

Из этой теоремы следует довольно простой способ выяснения полноты некоторого набора функций. Для каждой из этих функций выясняется принадлежность к перечисленным выше классам. Результаты заносятся в так называемую таблицу Поста (в нашем примере эта таблица составлена для 4-х функций, причем знаком “+” отмечается принадлежность функции соответствующему классу, знак “–” означает, что функция в него не входит).

f	T 0	T 1	L	M	S
f 1	+	–	+	–	–
f 2	+	–	–	–	+
f 3	–	+	–	–	–
f 4	+	+	–	+	–

В соответствии с теоремой Поста набор функций будет полным тогда и только тогда, когда в каждом столбце таблицы Поста имеется хотя бы один минус. Таким образом, из приведенной таблицы следует, что данные 4 функции образуют полный набор, но эти функции не являются базисом. Из этих функций можно образовать 2 базиса: f ₃, f ₁и f ₃, f ₂. Полными наборами будут любые наборы содержащие, какой-либо базис.

Непосредственно из таблицы Поста следует, что число базисных функций не может быть больше 5. Нетрудно доказать, что на самом деле это число меньше или равно 4.

Материал этого раздела не используется в контрольной работе, но используется в тестах, предлагаемых студентам для сдачи зачета. Примеры такого рода приведены в разд. 17 “Дополнительные задачи”.

Пусть имеется некоторое устройство, внутренняя структура которого нас не интересует, а известно лишь, что оно имеет п упорядоченных входов (занумерованных числами от 1 до п) и один “выход”. На каждый из входов может подаваться один из двух сигналов: 0 или 1 (“отсутствие тока” или “наличие его”) и при каждом наборе сигналов на входе возникает один из двух сигналов 0 или 1 на выходе. Такое устройство называется функциональным элементом (ФЭ). ФЭ, соответствующий функции j от нескольких переменных, может быть изображен следующим образом:

Ясно, что каждому ФЭ соответствует некоторая булева функция f (x ₁, x ₂,…, x_n). Некоторые входы могут быть фиктивными (т. е. при любом наборе сигналов на остальных входах сигнал на выходе не зависит от сигнала на этом входе, и соответствующая булева функция зависит от меньшего числа переменных). Если имеется несколько ФЭ, то из них можно получать новые сложные ФЭ (например, один из входов ФЭ можно соединить с выходом другого. В этом случае полученное соединение соответствует суперпозиции двух функций. Можно также соединять некоторые входы, что означает отождествление некоторых переменных).

Следующие соединения, очевидно, являются логическими функциями: (x + y) | (y ~ z) и (x | y) ~ (x× y).

Более точно: будем называть соединение нескольких ФЭ схемой, если выполнены следующие естественные требования:

а) всякий ФЭ является схемой;

б) если S ₀ – схема и два ее входа соединены вместе, то получившаяся в результате конструкция S также является схемой;

в) если S ₁и S ₂ – схемы, то схемой будет также конструкция S, полученная соединением какого-либо входа S ₁с выходом S ₂;

г) всякая схема может быть построена из ФЭ за конечное число шагов при помощи конструкций, описанных в б, в.

Ясно, что не всякое соединение ФЭ является схемой.

Соединение S конечного числа функциональных элементов является схемой тогда и только тогда, когда выполнены 3 условия:

среди ФЭ есть один и только один свободный выход (т.е. выход, не соединенный ни с каким входом);

каждый вход любого ФЭ может быть соединен не более чем с одним выходом другого ФЭ;

в соединении S нет циклов (т.е. нет такого упорядоченного набора ФЭ, когда вход следующего соединен с выходом предыдущего и вход первого соединен с выходом последнего. Цикл в соединении иначе называют обратной связью).

Теперь посмотрим, как на языке схем перефразируется задача о полноте системы функций. Пусть имеется некоторый набор функциональных элементов j ₁, j ₂,…,j _п (точнее, типов ФЭ, т. е. считаем, что имеется неограниченное число элементов, реализующих каждую из функций j _k). Спрашивается, при каких условиях любую булеву функцию можно реализовать при помощи схемы, состоящей из данных ФЭ. Из предыдущего ясно что ответ на этот вопрос дается теоремой Поста.

Замечание. Ясно, что при реализации описанных выше устройств необходимо учитывать, что для работы конкретных ФЭ требуется некоторое время, что влияет на фактор полноты ФЭ. Подробнее об этом можно узнать в [3].

Заметим, что на практике часто используются функции “конъюнкция” и “дизъюнкция”. Для них часто схемы изображаются несколько иначе. Дадим более точное определение. Релейно-контактной схемой или РКС будем называть некоторое соединение, состоящее из следующих элементов:

переключателей (это могут быть как механические устройства, так и лампы, электромагнитные реле и т. д.) Каждый переключатель может принимать значение 1 (через него пройдет ток) или 0 (через него ток не проходит). Будем считать, что любой переключатель соответствует либо логической переменной x,либо ;

проводников, могущих соединять переключатели либо последовательно, либо параллельно (это соответствует замене ФЭ, определяющих конъюнкцию или дизъюнкцию);

входа и выхода из системы (вход и выход называются полюсами системы).

Иначе РКС называют переключательной схемой (П-схемой).

Будем говорить, что конкретная РКС принимает значение 1 при данных значениях переключателей, если через нее проходит ток, в противном случае мы считаем, что она принимает значение 0.

Две РКС считаются равносильными,если они принимают одинаковые значения при одних и тех же значениях переключателей.

Очевидно, что любая суперпозиция функций конъюнкции, дизъюнкции и отрицания может быть изображена в виде РКС. Например, функции соответствует следующая РКС.

Следующая РКС соответствует функции (в ней 12 переключателей).

После сокращения СДНФ по правилу Блейка можно получить равносильную формулу: L = xz Úyz Ú xz, для которой РКС будет иметь 6 переключателей. Если ставить целью уменьшение числа переключателей, то последнее выражение можно преобразовать к виду L = (x Úy) z Úxy (РКС будет иметь 5 переключателей).

7.2. Решение логических задач с помощью теории булевых функци й

Суть применения методов теории булевых функций к решению логических задач состоит в том, что, имея конкретные условия логической задачи, стараются записать их в виде логической функции. При этом учитывается, что каждое высказывание может быть либо истинным, либо ложным и, значит, его можно обозначить логической переменной. В дальнейшем путем равносильных преобразований упрощают полученную формулу, что, как правило, приводит к ответу на все вопросы задачи, но иногда все-таки требуется применять логические рассуждения.

Покажем на ряде конкретных примеров, как использовать возможности теории булевых функций для решения элементарных логических задач.

Пример 1. Пытаясьвспомнитьпобедителей прошлогоднего турнира, 5 бывших зрителей турнира заявили:

1) Антон был вторым, а Борис пятым.

2) Виктор был вторым, а Денис третьим.

3) Григорий был первым, а Борис третьим.

4) Антон был третьим, а Евгений шестым.

5) Виктор был третьим, а Евгений четвертым.

Впоследствии выяснилось, что каждый мог ошибиться, не более чем в одном высказывании. Каково было истинное распределение мест в турнире?

Решение. Будем обозначать высказывания зрителей Х _k, где Х – первая буква имени участника турнира, а k – номер места, которое он занял в турнире. В высказываниях зрителей одно высказывание может быть ложным, поэтому будут истинными дизъюнкции этих высказываний А₂Ú Б₅, В₂ Ú Д₃, Г₁Ú Б₃ , А₃ Ú Е₆ , В₃Ú Е₄. Но тогда истинной будет конъюнкция: K = (А₂ ÚБ₅)(В₂Ú Д₃)(Г₁ ÚБ₃ )(А₃ Ú Е₆)(В₃Ú Е₄ ) = 1.

Учитывая, что Х _k Х _п = 0 при k ¹ п и Х _k Y _k = 0 при X¹ Y, получаем путем последовательного раскрытия скобок в К:

К = (А₂Д₃ ÚБ₅В₂ ÚБ₅Д₃)(Г₁А₃Ú Г₁Е₆ ÚБ₃Е₆)(В₃Ú Е₄) =

= (А₂Д₃Г₁Е₆ ÚБ₅В₂Г₁А₃ Ú Б₅В₂Г₁Е₆ Ú Б₅Д₃Г₁Е₆)(В₃Ú Е₄) = А₃Б₅В₂Г₁Е₄ = 1

Полученное соотношение дает распределение первых 5 мест и автоматически получаем, что Денис был шестым т. е. Д₆ = 1.

Пример 2. По подозрению в совершении преступления задержали Брауна, Джонса и Смита. Вот что они показали:

Браун: Я совершил это. Джонс не виноват.

Джонс: Браун не виноват. Преступление совершил Смит.

Смит: Я не виноват. Виновен Браун.

В процессе следствия выяснилось, что у одного из них оба утверждения ложны, у другого одно ложно, одно истинно, а у третьего оба истинны, а также, что преступник только один. Требуется определить имя преступника, кто из них говорил правду, а кто нет.

Решение. Обозначимбуквами B, D, C высказывания: виноват Браун, виноват Джонс, виноват Смит соответственно. Тогда утверждения, высказанные задержанными, можно записать в виде конъюнкций , из которых по условию задачи, две ложны, а одна истинна. Истинной будет формула, но из этой формулы решение получится только дополнительным рассуждением: пусть B = 1, тогда по условию C = 0 и D = 0. Но тогда из трех конъюнкций, составляющих К две будут верны: , а это противоречит условию. Значит В= 0. Видно, что C= 1удовлетворяетусловиюзадачи, и это решение единственно, так как если предположить, что D = 1, то это будет означать, что , а значит, что либо В, либо С равно 1, но это противоречит тому, что преступник только один.

Таким образом, преступник – Смит, оба его высказывания ложны, у Брауна одно высказывание ложно, одно нет, а Джонс сказал правду.

Все эти рассуждения используются не только для решения логических задач (которые действительно приходится решать следователям), но и для составления игровых программ (компьютерная игра ШЕРЛОК, содержащая больше 60 тыс. логических задач, составлена с использованием тех же самых конъюнкций, дизъюнкций и отрицаний).

Дата добавления: 2015-05-09