Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Тема 2. Переходные процессы в RC-цепях




 

2-1. Процессы, протекающие в простейшей RC-цепи.

Переходный процесс обусловлен тем, что энергия электромагнитных полей, связанных с цепью при различных установившихся режимах различна, а скачкообразное изменение энергии, т.е. изменение энергии на конечную величину за бесконечно малый промежуток времени, невозможно из-за ограниченности величины мощности физически существующих источников энергии.

Линейным устройством (элементом) называется устройство (элемент), параметры которого не зависят от протекающего тока или приложенного напряжения. Нелинейное устройство - это устройство, параметры которого зависят от тока или напряжения.

Переходные процессы в простейших линейных цепях, т.е. в цепях RL или RC описываются дифференциальным уравнением первого порядка:

 

,

 

где x (t) - напряжение или ток в схеме, y (t) - внешнее воздействие.

 

Решение этого уравнения для случая y (t) = const имеет вид:

 

,

 

где t - текущее время, x (t) - напряжение или ток в схеме, x (¥) - конечное значение x (t) при t ®¥, x (0) - начальное значение x (t) при t = 0.

Характер изменения функции x (t) представлен на рис. 2.1 (убывающая или нарастающая экспонента).

 

 

Рис. 2.1. Характер изменения экспоненциальной функции.

 

Выполним следующие преобразования:

 

,

.

 

Поскольку , то очевидно, что AB = t.

При анализе переходных процессов часто возникает задача нахождения интервала времени , за который функция x (t) изменяется от значения x (t 1) до значения x (t 2). Запишем значение функции в точках t 1 и t 2:

 

,

.

 

Откуда

 

,

,

,

,

.

 

Применим полученные соотношения для анализа RC-цепей. Предварительно напомним законы коммутации для RL и RC-цепей:

1-ый закон коммутации: напряжение на конденсаторе в момент коммутации не может измениться скачком UС (0-) = UС (0+);

2-ой закон коммутации: ток, протекающий через индуктивность, не может измениться скачком IL (0-) = IL (0+).

Законы коммутации являются следствием того, что энергия в цепи не может изменяться мгновенно, так как для этого требуется бесконечно большая мощность источников энергии. Рассмотрим RC-цепь (рис. 2.2).

 

 

Рис. 2.2. Схема простейшей RC-цепи.

 

Пусть конденсатор не заряжен и в момент времени t = 0 ключ переходит из положения «0» в положение «1». Для начальных и установившихся режимов в этом случае можно записать:

при t = 0 UС (0) = 0, UR (0) = E;

при t = ¥ UС (¥) = E, UR (¥) = 0.

После подстановки получаем:

 

,

.

 

Считая, что конденсатор заряжен до значения UС = E, рассмотрим процесс после перевода ключа из положения «1» в положение «2». Начальные и установившиеся значения напряжений на элементах в этом случае запишутся:

при t = 0 UС (0) = E, UR (0) = -E;

при t = ¥ UС (¥) = 0, UR (¥) = 0.

После подстановки получаем:

 

,

.

 

Характер изменения функций UC (t) и UR (t) представлен на рис. 2.3.

 

 

Рис. 2.3. Характер изменения функций UС (t) и UR (t) простейшей RC-цепи.

 

Из курса математики известно, что за утроенное значение постоянной времени, т.е. за время 3 t, экспонента изменяется на 0.95 своего конечного полного изменения. Это значит, что за время 3 t конденсатор условно разряжается и заряжается.

 

2-2. Интегрирующая RC-цепь.

Электрическая принципиальная схема интегрирующей RC-цепи представлена на рис. 2.4(а). Коммутация напряжения на входе, рассмотренная ранее, эквивалентна подаче на вход прямоугольного импульса напряжения (рис. 2.4(б)). Как было выведено ранее, характер изменения функции UC (t)= Uвых в общем случае выражается следующими зависимостями:

 

- нарастающая экспонента для 0 £ t £ tи;

- убывающая экспонента для t > tи, где - значение напряжения, до которого успел зарядиться конденсатор в период действия импульса.

 

Рис. 2.4. Интегрирующая RC-цепь и временные диаграммы напряжений.

 

Разряд конденсатора после прекращения действия импульса приводит к тому, что выходной импульс будет иметь большую продолжительность, чем входной. Происходит расширение импульса без сохранения его формы, поэтому такая RC-цепь называется расширяющей.

Поскольку , а , то

.

Так как , то

.

 

Рассмотрим случай, когда . Поскольку , следовательно , и можно записать:

 

,

 

то есть на выходе интеграл от входного напряжения. Отсюда очевидно название рассмотренной цепи – интегрирующая. Эта цепь используется, в частности, для получения линейно изменяющегося напряжения. Для этого на вход интегрирующей цепи подается постоянное напряжение . Тогда получаем

 

,

 

то есть на выходе линейно изменяющееся напряжение (рис. 2.5).

 

 

Рис. 2.5. Графики изменения идеального и реального выходных напряжений интегрирующей RC-цепи.

 

В отличие от рассмотренного идеального случая, в реальной цепи

 

.

 

Найдем производную по t от функции идеального выходного напряжения:

 

.

 

Аналогично для функции реального выходного напряжения производная запишется:

 

.

 

При t =0 ,

 

т.е. в нуле производные реальной и идеальной функций совпадают, а в дальнейшем - расходятся. За меру расхождения на интервале [0, tи ] принимают коэффициент нелинейности - относительное изменение производной:

 

.

 

Для случая можно воспользоваться формулой разложения функции : при . Тогда

 

,

 

т.е. чем больше t при данном значении tи, тем меньше ß. Реальная функция Uвых.р в этом случае ближе к идеальной Uвых.ид.

 

2-3. Разделительная дифференцирующая RC-цепь.

Электрическая принципиальная схема разделительной дифференцирующей RC-цепи и её временные диаграммы представлены на рис. 2.6.

 

Рис. 2.6. Разделительная дифференцирующая RC-цепь и временные диаграммы напряжений.

 

Как было показано ранее, меняется по закону:

 

для 0 £ t £ tи,

для t > tи.

 

При рассматриваемая RC-цепь выполняет функции разделительной цепи, назначение которой передать входное напряжение с наименьшими искажениями и отделить при этом постоянную составляющую. Абсолютная величина завала вершины равна напряжению на конденсаторе в момент tи снятия входного импульса, т.е.

 

.

 

Для случая , с учетом рассмотренного ранее разложения функции при получаем:

 

.

 

Оценкой качества разделительной цепи является величина относительного завала вершины g, которая определяется как:

 

.

 

Таким образом, завал вершины, а значит искажение входного импульса, тем меньше, чем больше постоянная времени цепи t при данном tи. Если величина завала вершины несравненно мала, то импульс передается без искажения.

 

 

Рис. 2.7. Диаграммы входного и выходного напряжений разделительной цепи.

 

Из временной диаграммы рис. 2.7 видно, что амплитуда последовательности импульсов выходного напряжения постоянна, но при этом импульсы смещаются относительно нулевого уровня. В установившемся режиме площади под графиком S + положительной и S - отрицательной областей последовательности импульсов окажутся равными друг другу: S + = S -.

Доказать этот факт можно, рассмотрев диаграмму тока, протекающего через резистор (рис.2.8). Очевидно, что i 1 t 1 - это заряд Qи, переносимый через емкость за время действия импульса на входе, а i 2(t 2- t 1) – заряд Qп, переносимый через емкость за время паузы между импульсами, т.е. в обратном направлении. Тогда общий заряд, переносимый через емкость за время, равное периоду импульса будет равен:

 

.

 

Поскольку постоянная составляющая через емкость не проходит , следовательно, или . Поскольку , а сопротивление – величина постоянная, то значит и равны S + и S - на диаграмме Uвых. Таким образом, для разделительной цепи необходимо выполнение условия: .

Рис. 2.8. Диаграмма тока, протекающего через резистор разделительной RC-цепи.

 

Поскольку , а , то

 

 

Продифференцируем обе части полученного уравнения. Получим

 

 

Так как , то .

 

Рассмотрим случай . Поскольку , то можно записать . Тогда

 

.

 

Из полученной формулы следует название такой цепи – дифференцирующая. Для дифференцирующей цепи должно выполняться условие , т.е. конденсатор должен успевать быстро перезаряжаться при данном tи. Диаграммы входного и выходного напряжений дифференцирующей цепи для последовательности импульсов представлены на рис. 2.9.

 

 

Рис. 2.9. Диаграммы входного и выходного напряжений дифференцирующей RC-цепи.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-05-09; Просмотров: 2838; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.007 сек.