Примеры дробно рациональных уравнений

Дробно рациональные уравнения. Решения

Уравнение которые можно свести к дроби f(x)/g(x)=0 называется дробно рациональным уравнением.
Решение дробно рациональных уравнений не слишком сложная задача если Вы знаете методику, а она достаточно проста.
Если уравнение имеет несколько слагаемых то переносим их по одну сторону знака равенства и сводим к общему знаменателю. В результате получим дробную функцию f(x)/g(x), которая равна нулю

Следующим шагом находим корни числителя. Отвергаем среди них те, которые не принадлежат области допустимых значений (нули знаменателя) и записываем правильный ответ.

В теории все просто, однако на практике и у школьников и у студентов возникают проблемы при сведены к общему знаменателю, отыскании корней и т.д. Для ознакомления с решением рассмотрим несколько распространенных задач.

Пример 1. Найти корни уравнения

Решение: По методике переносим слагаемые и сводим к общему знаменателю

Приравниваем числитель и знаменатель к нулю и находим корни. Первое уравнение можем решить по теореме Виета

Второе раскладываем на множители

Если от корней числителя отбросить нули знаменателя то получим только одно решение x=-7.

Внимание: Всегда проверяйте совпадают ли корни числителя и знаменателя. Если такие есть то не учитывайте их в ответе.

Ответ: х=-7.

------------------------------------

Пример 2. Решить уравнение

Решение: Задано дробное рациональное уравнение. Находим сначала корни числителя, для этого решаем квадратное уравнение

Вычисляем дискриминант

и корни уравнения

Получили три нуля числителя .
Квадратное уравнение в знаменателе проще и можем решить по теореме Виета

Числитель и знаменатель не имеют общих корней поэтому все три найденные значения будут решениями.

------------------------------------

Пример 3. Найти корни уравнения

Решение: Переносим слагаемое за знак равенства

и сводим к общему знаменателю

Раскрываем в числителе скобки и сводим к квадратному уравнению

Полученное дробно рациональное уравнение эквивалентно системе двух уравнений

Корни первого вычисляем через дискриминант

Нули второго находим без проблем

Исключаем из решений числителя значение и получим.

Ответ: х=3.

------------------------------------

Дата добавления: 2015-05-10