Общее уравнение плоскости

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Уравнения плоскости

Определение. Любой ненулевой вектор, перпендикулярный данной плоскости, будем называть нормальным вектором этой плоскости.

Пусть задан нормальный вектор плоскости P и точка M₀ (x ₀, y ₀, z ₀) P. Возьмём на плоскости произвольную точку M (x, y, z) и рассмотрим вектор (рис.1).

z

M₀

M

P

y

0

x

Рис. 1

Точка M (x, y, z) принадлежат плоскости только в том случае, когда векторы и будут перпендикулярны. Из условия перпендикулярности двух векторов получаем уравнение:

, (1)

которое называется уравнением плоскости, проходящей через точку M₀ (x ₀, y ₀, z ₀) перпендикулярно вектору .

В уравнении (1) раскроем скобки и обозначим .

Уравнение вида

Ax + By + Cz + D = 0 (2)

называется общим уравнением плоскости в пространстве.

Общее уравнение плоскости называется полным, если все его коэффициенты A, B, C, D отличны от нуля.

Рассмотрим все возможные виды неполных уравнений.

1) D = 0. Тогда Ax + By + Cz = 0 есть уравнение плоскости, проходящей через начало координат.

2) C = 0. Уравнение Ax + By + D = 0 определяет плоскость, параллельную оси Oz, пересекающую плоскость Оху по прямой, имеющей на этой плоскости уравнение

Ax + By + D = 0. Действительно, нормальный вектор этой плоскости перпендикулярен оси Oz.

3) С = 0, D = 0. Уравнение Ax + By = 0 определяет плоскость, проходящую через ось Оz, пересекающую плоскость Оху по прямой, имеющей на этой плоскости уравнение Ax + By = 0.

4) A = 0. Уравнение By + Cz + D = 0 определяет плоскость параллельную оси Ox, пересекающую плоскость Оуz по прямой, имеющей на этой плоскости уравнение

By + Cz + D = 0. Действительно, нормальный вектор этой плоскости перпендикулярен оси Ox.

5) A = 0, D = 0. Уравнение By + Cz =0 определяет плоскость, проходящую через ось Ох, пересекающую плоскость Оуz по прямой, имеющей на этой плоскости уравнение By + Cz = 0.

6) B = 0. Уравнение Ax + Cz + D = 0 определяет плоскость, параллельную оси Oy, пересекающую плоскость Оxz по прямой, имеющей на этой плоскости уравнение Ax+ Cz +D = 0. Действительно, нормальный вектор этой плоскости перпендикулярен оси Oy.

7) B = 0, D = 0. Уравнение Ax + C z =0 определяет плоскость, проходящую через ось Oy, пересекающую плоскость Оxz по прямой, имеющей на этой плоскости уравнение

Ax + Cz =0.

8) A = 0, B = 0. Уравнение Cz + D = 0 или z = – определяет плоскость, параллельную координатной плоскости Oxy, пересекающую ось Oz в точке с апликатой

z = – . Действительно, плоскость параллельна осям Ox и Oy.

9) A = 0, C = 0. Уравнение By + D = 0 или у = – определяет плоскость, параллельную координатной плоскости Oxz, пересекающую ось Оу вточке с ординатой у = – . Действительно, плоскость параллельна осям Ox и Oz.

10) B = 0, C = 0. Уравнение Ax + D =0 или х = – определяет плоскость, параллельную координатной плоскости Oyz, пересекающую ось Ох вточке с абсциссой х = – . Действительно, плоскость параллельна осям Oy и Oz.

11) A = 0, B = 0, D = 0. Уравнение Cz = 0 или z = 0 определяет координатную плоскость Oxy.

12) A = 0, С = 0, D = 0. Уравнение By = 0 или y = 0 определяет координатную плоскость Oxz.

13) B = 0, C = 0, D = 0. Уравнение Ax = 0 или x = 0 определяет координатную плоскость Oyz.

3. Уравнение плоскости в “отрезках”.

Рассмотрим полное уравнение плоскости. Так как все коэффициенты A, B, C и D отличны от нуля, перепишем уравнение (2) в виде:

.

Обозначим , , .

Уравнение вида

называется уравнением плоскости в отрезках (рис.2).

z

c

О b y

x

Рис. 2

Здесь числа , b и c имеют простой геометрический смысл: они равны величинам отрезков, которые плоскость отсекает на осях Ox, Oy и Oz соответственно.

Дата добавления: 2015-05-10