Итерационные методы решения систем линейных уравнений

Систему (1) преобразуем к итерационному виду. Возможны два способа преобразования системы. Первым способом система преобразуется к виду:

(2)

Предполагается, что коэффициенты не равны нулю. В матричном виде систему (2) можно записать:

X=A´·X+B´,

Задается начальное приближение X⁽⁰⁾. Следующее приближение вычисляется из соотношения

X⁽¹⁾=A´·X⁽⁰⁾+B´,

затем вычисляется второе приближение

X⁽²⁾=A´·X⁽¹⁾+B´, и т.д.

K-тое приближение вычисляется по формуле

X^(k)=A´·X^(k-1)+B´.

В качестве критерия сходимости можно использовать оценки нормы матрицы

Пример:

Преобразуем систему к виду (2):

Вычислим несколько приближений:

1)

2)

3)

Вторым способом система уравнений преобразуется к виду

(3)

В матричном виде систему (3) можно записать в виде

X=A´´·X+B´´+X,

где .

K-тое приближение вычисляется по формуле

X^(k)=X^(k-1)+A´´·X^(k-1)+B´´.

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет выполнено соотношение ,

где ε- требуемая точность вычислений, k- номер итерации, с левой стороны неравенства подразумевается максимальное значение абсолютных разностей для всех неизвестных.

Вместо абсолютных можно в качестве критерия окончания итерационного процесса использовать относительные разности

Итерационный процесс решения системы линейных уравнений будет сходящимся, если все собственные значения матрицы А´ будут меньше единицы.

Пример:

Преобразуем систему к виду (3):

Вычислим несколько приближений:

1)

2)

3)

Дата добавления: 2015-05-10