Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов

Определение

Умножение вектора на число

Определение

Разностью векторов и называется вектор такой, что выполняется условие: (рис. 3).

Произведением вектора на число называется вектор , удовлетворяющий условиям:

1.

2.

3. , если , , если .

Свойства умножения вектора на число:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Здесь и - произвольные векторы, , - произвольные числа.

Коллинеа́рность — отношение параллельности векторов: два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Допусти́м синоним — «параллельные» векторы.

Три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведенными к общему началу, лежат в одной плоскости^[1].

Пусть X — линейное пространство.

Определение. Система векторов x₁, x₂, …, x_n Î X называется линейно зависимой, если существуют числа α₁, α₂, …, α_n Î R, не все равные нулю (т.е. α₁² + α₂² + … + α_n² ≠ 0), такие, что

α₁x₁ + α₂x₂ + … + α_nx_n = θ.

Если это равенство выполняется только при α₁ = α₂ = … = α_n = 0, то система векторов называется линейно независимой.

Вместо "линейно зависимая (или независимая) система векторов" можно говорить просто "линейно зависимые (или независимые) векторы".

Теорема Чтобы векторы x₁, x₂, …, x_n Î X были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из них являлся линейной комбинацией остальных.

Доказательство см. в книге О.В. Зиминой ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия" (Москва, Изд–во МЭИ, 2000, стр.39).

Следствие. Два вектора x₁ и x₂ линейно зависимы тогда и только тогда, когда x₁ = αx₂ или x₂ = βx₁ при некоторых α, β Î R, т.е. когда векторы x₁ и x₂коллинеарны.

8.

Дата добавления: 2015-05-10