Базисы в V3. Координаты векторов относительно базиса

Определение 22: Базисом в пространстве свободных векторов V₃ называется любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

Пусть В: а₁, а₂, а₃ – фиксированный базис в V₃.

Определение 23: Координатами вектора b относительно базиса В называется упорядоченная тройка чисел { x, y, z }, т.ч. b = x · a₁+ y ·а₂+ z · а₃.

Обозначение: b= { x, y, z } _B

Замечание: Под координатами закреплённого вектора понимают координаты соответствующего ему свободного вектора.

Теорема1: Соответствие между V₃ и R³ при фиксированном базисе взаимно однозначно, т.е. b V₃ ! { x, y, z } R³ и { x, y, z } R³ ! b V₃, т.ч. b= { x, y, z } _B

Соответствие между вектором и его координатами в данном базисе обладает следующими свойствами:

_1. Пусть b₁= { x₁, y₁, z₁ } _B, b₂= { x₂, y₂, z₂ } _B b₁+ b₂= { x₁+ x₂, y₁+ y₂, z₁+ z₂ } _B

_2. Пусть b= { x, y, z } _B, λ R λ· b= { λ· x, λ· y, λ· z } _B

3. Пусть b₁|| b₂, b₁= { x₁, y₁, z₁ } _B, b₂= { x₂, y₂, z₂ } _B
(Здесь: любое числ

9 Проекцией вектора AB на ось l называется число, равное величине отрезкаA_lB_l оси l, где точки A_l и B_l являются проекциями точек A и B на ось l. (рис. 1).

Прямоугольная система координат — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат. Очень легко и прямо обобщается для пространств любой размерности, что также способствует ее широкому применению.

11 Скаля́рное произведе́ние (иногда внутреннее произведение) — операция над двумя векторами, результатом которой является число (скаляр), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Данной операции соответствует умножение длины вектора x на проекцию вектора y на вектор x. Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.

Обычно используется одно из следующих обозначений:

12 Векторное произведение — это псевдовектор, перпендикулярный плоскости, построенной по двум сомножителям, являющийся результатом бинарной операции«векторное умножение» над векторами в трёхмерном евклидовом пространстве

13 Смешанное произведение векторов — скалярное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и c.

Дата добавления: 2015-05-10