Оператор Квазіімпульса

Функції і періодичні з періодом ґратки, тому вираз у фігурних дужках можна вважати значенням функції при іншому , а саме – . Отже, для довільного вектора трансляції оберненої ґратки виконується рівність

, (3.50)

яка свідчить, що для електрона у кристалі стани, хвильові вектори яких відрізняються на довільний з векторів оберненої ґратки, – еквівалентні. Це означає, що хвильовий вектор, як характеристика стану, визначається неоднозначно – з точністю до :

, (3.51)

а його енергія – періодична функція координат оберненого простору:

. (3.52)

Аналогічний висновок отримується і у рамках моделі майже вільного електрона.

З сказаного випливає, що енергія – многозначна функція хвильового вектора (рис. 3.6 а), усі можливі значення якої (виділені жирними лініями на осі енергій) досягаються при зміні у межах першої зони Бріллюена. Саме ці значення хвильового вектора зазвичай використовуються для характеристики станів електрона у кристалі і, зокрема, його енергетичного спектра (рис. 3.6 б). Вектор називають у цьому випадку приведеним хвильовим вектором.

У межах кожної енергетичної зони енергія – однозначна функція хвильового вектора. Отже, кожна із зон дозволених значень енергії електрона у кристалі являє собою множину N енергетичних рівнів (рис. 3.7). Відповідно, кожній зоні відповідає N одноелектронних станів – хвиль типу (3.49), які відрізняються набором квантових чисел (k ₁, k ₂, k ₃).

Дійсно, внаслідок взаємодії електрона з періодичним кристалічним полем, характер залежності його енергії від хвильового вектора у реальному кристалі значно складніший, ніж у випадку вільного електрона. Особливо істотною ця відмінність стає при наближенні до поверхні зони Бріллюена, де енергія зазнає розриву. Крім того, на осях симетрії та у точках високої симетрії зони Бріллюена (її центрі, у центрах та вершинах многокутників, що утворюють її поверхню і т.п.) енергія, як функція хвильового вектора, досягає локального екстремуму або має точки перегину (рис. 3.8).

У точках екстремуму групова швидкість хвильового пакета дорівнює нулю, а це приводить до того, що залежність стає нелінійною (рис. 3.9 б).

Нехай електрон рухається у кристалі під дією зовнішньої сили F. Прискорення, якого він набуває у напрямку дії сили,

Оскільки енергія – складна функція від часу, тобто то

, так що .

Проте, тому . (3.54)

Коефіцієнт пропорційності між силою і викликаним нею прискоренням є величиною, оберненою до маси. Тому можна стверджувати, що електрон у кристалі (хвильовий пакет) рухається так, як рухався би під дією цієї ж сили вільний електрон, якби він володів масою m такою, що (або, в більш загальному випадку, ). Це дозволяє величину

(3.55)

вважати масою електрона у періодичному кристалічному полі. Проте, ця величина дещо своєрідна, оскільки вона змінюється при зміні ; може бути як додатною, так і від’ємною (залежно від напрямку опуклості графіка функції ); у точках перегину графіка , зазнає розриву (рис. 3.9 в). З цієї причини величина m ^* називається ефективною масою електрона у кристалі.

Відповідно до (3.48) ефективна маса електрона також залежить від того, до якої зони дозволених значень енергії належить його стан; значення її тим більше, чим менший кутовий коефіцієнт дотичної до дисперсійної кривої (рис. 3.9 в).

Відзначимо також, що внаслідок неоднозначності (3.51) величина , яка для вільного електрона у кристалі має зміст імпульсу, також набуває властивості . З цієї причини її називають квазіімпульсом електрона.

Для електронів в зоні провідності в першому наближенні ці складнощі, пов'язані зі спін-орбітальним взаємодією, відсутні. В околиці Г-точки кінетична енергія електрона дається звичайним виразом

где - оператор проекции квазиимпульса на одну из трех осей [100], [010] и [001], а me -эффективная масса электрона. По мере удаления от центра зоны Бриллюэна дисперсия электронных состоянийп ерестает описываться простой квадратичной параболой. В рамках этого приближения спин электрона невзаимодействует с импульсом и спиновая релаксация отсутствует.

Дата добавления: 2015-05-26