Свойства непрерывных функций нескольких переменных

Непрерывность функции переменных.

Определение 7. Функцию , определенную в окрестности точки (и в самой точке), называют непрерывной в точке , если .

Точки пространства , в которых функция не обладает свойством непрерывности называются точками разрыва функции.

Точку называют точкой разрыва в случае:

1) определена во всех точках некоторой окрестности точки , кроме самой точки ;

2) функция определена во всех точках окрестности и в самой точке , но не существует предела

3) функция определена во всех точках окрестности и в самой точке , и существует предел , но .

Определение 8. Функция, непрерывная в каждой точке множества называется непрерывной на множестве .

Свойство 1. Если и заданы на одном и том же множестве , и непрерывны в некоторой точке , то функции , , , а при условии, что и – непрерывны в точке .

Свойство 2. Если функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве , то:

1) она ограничена на этом множестве;

2) она достигает на этом множестве своих наибольшего и наименьшего значений;

3) для любого числа найдется такая точка , что .

Дата добавления: 2015-05-26