Дифференцирование сложной функции

Дифференциал функции нескольких переменных.

Определение. Если приращение функции в точке можно записать в виде , где и зависят только от и , и не зависят от , , то функция называется дифференцируемой в точке .

Выражение называется дифференциалом функции в точке и обозначается символом .

Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она имеет в этой точке частные производные, причем .

Дифференциал функции переменных записывается аналогично:

.

Теорема (достаточное условие дифференцируемости) Если функция имеет в точке непрерывные частные производные, то она дифференцируема в этой точке.

Утверждение. Функция , дифференцируемая в точке , является непрерывной в этой точке.

1. Случай одной независимой переменной. Если дифференцируемая функция аргументов и , которые в свою очередь являются дифференцируемыми функциями независимой переменной : ; , то производная сложной функции может быть вычислена по формуле

, (*)

которая называется формулой полной производной.

В частности, если совпадает с одним из аргументов, например , то «полная» производная по будет

Пример 7. Найти , если , где , .

Дата добавления: 2015-05-26