Періодичний нестаціонарний процес теплопровідності

Для процесів такого типу замість початкових умов повинна ставитися умова періодичності

, (4.59)

де – період процесу. Для характеристики періодичних процесів використовують також частоту і кругову частоту.

Розглянемо задачу теплопровідності напівобмеженого масиву, температура поверхні якого змінюється по періодичному закону (рис. 4.13). В даному випадку зручніше користуватися надлишковою температурою , оскільки така заміна призводить до нульової граничної умови на нескінченності.

Математичний опис включає диференціальне рівняння теплопровідності в одновимірній постановці

(4.60)

і крайові умови

. (4.61)

Для побудови розв’язка скористаємося достатньо очевидними фізичними міркуваннями:

1. Температура для кожного фіксованого періодично змінюватиметься в часі.

2. Вглиб масиву розповсюджуються теплові хвилі, тому розв’язки повинні містити множник, що описує поведінку прогресуючої хвилі виду . Тут – хвильове число, що характеризує кількість хвиль завдовжки , що укладається на відрізку завдовжки .

3. Оскільки ми припустили, що в глибині масиву, температурні коливання повинні затухати по мірі віддалення від поверхні. Можна припустити, що затухання описується експоненціальним законом вигляду , де m носить назву декремента затухання.

Таким чином, передбачуваний розв’язок приймає наступний вигляд:

(4.62)

Рис. 4.13. Зміна температури поверхні при періодичному процесі нестаціонарної теплопровідності.

Неважко переконатися, що рівняння (4.62) задовольняє як граничним умовам, так і умовам періодичності. Якщо ж воно при певних значеннях К і m задовольняє диференціальне рівняння теплопровідності (4.60), то в цьому випадку воно є розв’язком поставленої задачі. Продиференціюємо (4.62) окремо за часом і двічі по координаті:

,

.

Для того, щоб виконувалося рівняння (1.60), необхідне дотримання двох умов:

. (4.63)

З останньої рівності виходить, що і остаточний розв’язок задачі приймає наступний вигляд:

. (4.64)

Графічна інтерпретація розв’язку представлена на рис 4.13.

Аналіз розв’язку. Довжина теплової хвилі складає

. (4.65)

На глибині амплітуда коливань температури зменшується в , тобто в 535 разів. Таким чином, значення є глибиною проникнення температурних флуктуацій. Як випливає з (4.65), вона сильно залежить від періоду протікання процесу і матеріалу масиву. Так, для ґрунтового покриву Землі добові коливання температури проникають на глибину м, а річні – до 20 м.

Встановимо тепер, як поводиться тепловий потік на поверхні тіла:

,

, (4.66)

або

. (4.66а)

Рис. 4.14. Залежності температури і теплового потоку від відстані від поверхні і часу при синусоїдальному законі зміни температури поверхні.

Виявляється, що тепловий потік на поверхні зсунутий по фазі відносно зміни температури. Так само можна показати, що і для всієї решти точок тіла тепловий потік випереджає по фазі коливання температури на (рис. 4.14). В середньому за період потік тепла .

Амплітуда коливань теплового потоку

. (4.67)

Література

1. Гапчин Б.М., Дутчак Я.Й., Френчко В.С. Молекулярна фізика (лабораторний практикум) –Львів: Світ, 1990, 240 с.

2. Исаченко В.П., Осипова В.А., Сукомел А.С. Теплопередача.– М.: Энергия, 1969.

3. Сивухин Д.В. Трмодинамика и молекулярная физика. Учеб. Пособие для вузов.– М.: Наука, 1990.– 552с.

4. Осипова В.А. Експериментальные исследование процессов тепломасобмена: Учеб. пособие для вузов. – М.: Энергия, 1979, 320 с.

5. Цедерберг Н.В. Теплопроводность газов и жидкостей.-М.: Госэнергоиздат, 1963, 408с.

6. Беляев Н.М. Основы теплопередачи.-К.: Вища школа, 1989, 343 с.

7. Платунов Е.С., Буравой С.Е. и др. Теплофизические измерения и приборы / Под ред. Е.С. Платунова. – М.:Машиностороение, 1986.

8. Шашков А.Г., Волохов Г.М., Абраменко Т.Н., Козлов В.П. Методы определения теплопроводности и температуропроводности.-М.: Энергия, 1973, 336с.

9. Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. –М.: Физматгиз, 1963, 708 с.

10. Справочник под ред. Кикоина И.К. Таблицы физических величин. –М.: Атомиздат, 1976, 1006с.

11. Тепло- и массообмен. Тплотехнический эсперимент: Справочник/ Под общ. ред. В.Л. Григорьева и В.М. Зорина.– М.: Энергоиздат, 1982.– 515с.

12. Теоретические основы теплофизики. Теплотехнический эксперимент.: Справочник/ Под общ. Ред.чл.-корр. АН СССР В.А. Григорьева, В.М. Зорина.– 2-е изд., перераб.– М.: Энергоатомиздат, 1988.–560 с.; ил.– (Теплоэнергетика и теплотехника; Кн.2).

13. Геращенко О.А., Гордов А.Н., Лах В.И., Стаднык Б.И., Ярышев Н.А., Температурные измерения. Справочник. -К.:Наукова думка, 1984, 494 с.Гордов А.Н., Жагулло О.М., Иванова А.Г. Основы температурных измерений.-М.: Энергоатомиздат, 1992, 304 с.

14. Кутателадзе С.С. Теплопередача и гидродинамическое сопротивление: Справочное пособие.– М.: Энергоатомиздат, 1990.–367с.: ил.

15. Линевег Ф. Измерение температур в технике. Справочник. Пер.с нем.-М.: Металургия, 1980, 544 с.

16. Ицкович А.М. Основы теплотехники. Учеб. Пособие для проф.-техн. Учеб. Заведений. Изд. 2-е, исправленное, М.– «Высшая школа», 1975.

17. Селивестров В.М., Бажан П.И. Термодинамика, теплопередача и теплообменные аппараты: Учебник для институтов водн. трансп. –М.: Транспорт, 1988.–287с.

18. Мурин Г.А. Теплотехнические измерения. Учебник для техникумов.– 5-е изд., перераб. и доп.– М.: Энергия, 1979.×– 424 с.,ил.

19. В.Е. Иванов и др. Метод измерения теплопроводности металлов при высоких температурах // Экспериментальная техника и методжы высокотемпературных измерений // Сборник статей. М.: Издательство «Наука». – 1966. – С.30–37.

20. Копійка О.К., Калінчак В.В., Головко В.В. Фізика теплопередачі: – Одеса: Маяк, 2004.– 44с.

Дата добавления: 2015-05-26