Проверка гипотезы о нормальном законе распределения

Критерии согласия.

Проверка гипотез.

В некоторых случаях нас интересует неизвестный закон распределения изученного признака Х во всей генеральной совокупности. В этом случае информация о законе распределения поступает с помощью выборки.

Формируется гипотеза Н₀ о неизвестном законе распределения и по выборочным данным эта гипотеза либо отвергается либо принимается.

Правило, по которому решается отвергнуть гипотезу Н₀ или нет называется критерием согласия.

Гипотеза Н₀ может быть выдвинута не только о неизвестном законе распределения. Поскольку о признаке Х в генеральной совокупности, как правило, ничего не известно, то любое предположение относительно этого признака нуждается в подтверждении с помощью результатов выборки.

Гипотеза Н₀ это любое предположение о признаке Х во всей генеральной совокупности.

Критерий согласия это правило, по которому эту гипотезу отвергаем или принимаем.

Для проверки гипотезы Н₀ образуется выборка. С каждым критерием согласия связана некоторая случайная величина, которая называется статистикой данного критерия.

Закон распределения этой статистики, как правило, известен и затабулирован. При постановке задачи устанавливается уровень значимости α (т.е. та вероятность, которую решено принять).

В соответствие с уровнем значимости α по таблицам устанавливается критическое значение статистики критерия.

По результатам выборки вычисляется опытное (эмпирическое) значение этой статистики. Если опытное значение превосходит критическое, то гипотеза Н₀ отвергается. В противном случае – не отвергается. При использовании критерия согласия для проверки гипотезы возникают 2 типа ошибок:

1. возможность отвергнуть правильную гипотезу;

2. возможность принять неверную гипотезу;

При выборе того или иного критерия согласия учитывается величина и характеристика ошибки, которая с ними связана.

Критерий согласия Пирсона (критерий согласия (хи)).

Пусть закон распределения случайной величины Х во всей генеральной совокупности неизвестен. Образована выборка объема n. По результатам выборки получено значение . Данные выборки позволяют сформулировать гипотезу Н₀ о том, что случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами . Для проверки этой гипотезы применяется критерий согласия Пирсона, статистика которого

(1) , где

- вероятность того, что случайная величина заключена в интервале . И эти вероятности вычислены с предположением, что гипотеза Н₀ верна, т.е. Х имеет нормальный закон распределения с параметрами . Тогда для вычисления можно применить формулу для нормального закона.

(2)

Случайная величина имеет известный закон распределения, который затабулирован на странице 558.

Значение , полученное по ф. (1) – опытное (эмпирическое), т.к. получено по результатам выборки.

Критическое значение находим по таблице стр. 558 и определяется двумя параметрами α и k, где

α – уровень значимости;

k – называется числом степеней свободы и равняется m = 3, где m – это количество интервалов признака в выборке.

Если , то (гипотеза о нормальном законе отвергается). В противном случае принимается.

Пример:

По результатам обследования 100 станков из 10000 для определения времени бесперебойной работы станка, получены данные, которые занесены в таблицу.

1) Проверить гипотезу Н₀ о нормальном законе распределения случайной величины Х – времени бесперебойной работы станка. Применить критерий согласия при уровне значимости равном 0,05;

2) Выписать плотность вероятности и функцию распределения этой случайной величины;

3) Найти вероятность того, что время бесперебойной работы станка будет не менее 35 часов;

4) Построить гистограмму и кривую распределения этой случайной величины;

Дано:

Время бесперебойной работы t α - β	кол-во станков ni	xi	xi *ni
20-30					0,1	0,084		0,29
30-40					0,3	0,321		0,14
40-50					0,4	0,400		0,00
50-60					0,2	0,164		0,79
m = 4	n = 100

;

По таблице получено опытное значение

По таблице на странице 558 получено критическое значение

Опытное значение < , следовательно Н₀ не отвергается.

2)

Неизвестные параметры α и σ приближенно равны их выборочным оценкам . При достаточно большом объеме выборки в соответствии с законом больших чисел практически достоверно, что разница между оценкой и параметром сколь угодно мала.

3)

Расхождение между теоретическим и опытным значением связано с тем, что изучалась не вся совокупность, а лишь ее часть.

Замечание:

Расхождение между теоретическими и опытными данными неизбежно, т.к. рассматривается лишь часть генеральной совокупности, однако, если расхождение велико, то это заставляет предполагать, что теоретическая модель неадекватна реальности.

Дата добавления: 2015-05-26