Нескінченно малі і нескінченно великі функції

Основні теореми про границі

Практичне обчислення границь ґрунтується на наступних теоремах.

Якщо існують і , то:

1) Границя суми (різниці) двох функцій дорівнює сумі (різниці) їхніх границь:

.

2) Границя добутку двох функцій дорівнює добутку їхніх границь:

.

3) Границя частки дорівнює границі чисельника, поділеній на границю знаменника, за умови, що границя знаменника не дорівнює нулю:

, якщо .

4) Постійний множник можна виносити за знак границі:

, якщо .

5) Границя степеня з натуральним показником дорівнює такому же степеню границі:

.

Використовуються також наступні визначні границі:

І) (перша визначна границя).

Наслідки із першої визначної границі:

; ; ; ,

а також:

; ; ; ,

де – деяка функція.

ІІ) (друга визначна границя) або .

Наслідки із другої визначної границі:

; ,

де – деякі функції.

Функція називається нескінченно малою при , якщо

.

За визначенням границі функції рівність означає, що для заданого завгодно малого числа знайдеться таке число , що для всіх , що задовольняють нерівності , буде виконуватися нерівність .

Функція називається нескінченно великою при , якщо

.

За визначенням границі функції рівність означає, що для заданого завгодно великого числа знайдеться таке число , що для всіх , що задовольняють нерівності , буде виконуватися нерівність .

Зауваження: Аналогічно, можна говорити про нескінченно великі і нескінченно малі функції при .

Нескінченно великі і нескінченно малі функції мають наступні властивості.

Властивість 1.Сума скінченної кількості нескінченно малих функцій є функцією нескінченно малою.

Властивість 2. Добуток обмеженої функції на нескінченно малу функцію є функцією нескінченно малою.

Властивість 3. Добуток постійної на нескінченно малу функцію є функцією нескінченно малою.

Властивість 4. Добуток скінченної кількості нескінченно малих функцій є функцією нескінченно малою.

Властивість 5. Сума скінченної кількості нескінченно великих функцій є функцією нескінченно великою.

Властивість 6. Добуток обмеженої функції на нескінченно велику функцію є функцією нескінченно великою.

Властивість 7. Добуток постійної на нескінченно велику функцію є функцією нескінченно великою.

Властивість 8. Функція, обернена за величиною нескінченно великий, є функцією нескінченно малою

Властивість 9. Функція, обернена за величиною нескінченно малій, є функцією нескінченно великою.

Зауваження: властивості 8 й 9 відображають зв'язок між нескінченно великою і нескінченно малою функціями.

Якщо прийняти наступні позначення: нескінченно мала функція – символ 0, нескінченно велика функція – символ ¥, постійна величина – символ , обмежена функція – символ , то всі викладені властивості можна записати в такий спосіб:

1. ; 4. ; 7. ;

2. ; 5. ; 8. ;

3. ; 6. ; 9.

Для порівняння двох нескінченно малих функцій і при знаходять границю їх відношення:

1) Якщо , то називається нескінченно малою функцією більш високого порядку в порівнянні із

2) Якщо то називається нескінченно малою функцією більш високого порядку в порівнянні із

3) Якщо , то й називаються нескінченно малими функціями одного і того ж порядку.

4) Якщо , те й називаються еквівалентними (рівносильними) нескінченно малими: ~ .

При обчисленні границь використовують наступні заміни еквівалентних нескінченно малих функцій при або :

, , , ,

, , , ,

, , , .

Варто зауважити, що границя відношення нескінченно малих функцій дорівнює границі відношення еквівалентних їм нескінченно малих функцій.

Зауваження: заміну нескінченно малих функцій на еквівалентні їм нескінченно малі функції не можна робити у випадку різниці нескінченно малих функцій.

Дата добавления: 2015-05-26