Приклад 18

Знайти проміжки монотонності і точки екстремуму функції .

Розв’язок.

Функція визначена на всій числовій осі. Область визначення функції має вигляд: .

Знайдемо першу похідну функції:

.

Знайдемо критичні точки першого роду:

.

Дріб дорівнює нулю, якщо чисельник дорівнює нулю і знаменник не дорівнює нулю:

; ; .

Отже, точки та – критичні точки І роду.

Розбиваємо всю числову вісь на інтервали і визначаємо знак похідної на кожному з інтервалів.

		– 1
	+		–	не існує	+
	↗		↘		↗

max min

Оскільки на інтервалах похідна додатна, то на цих інтервалах функція зростає.

Оскільки на інтервалі похідна від’ємна, то на цьому інтервалі функція спадає.

Оскільки при переході через критичну точку похідна змінює знак з «+» на «–», то в цій точці функція має максимум.

Оскільки при переході через критичну точку похідна змінює знак з «–» на «+», то в цій точці – мінімум функції.

Визначимо значення функції у критичних точках.

;

.

Наближений вигляд графіка функції показано на рис 6.

Дата добавления: 2015-05-26