Зростання і спадання функції на інтервалі

Приклад 17.

Обчислити за допомогою правила Лопіталя границі:

а) ; б) ; в) .

Розв’язок.

а)

.

б)

.

в) .

Позначимо границю через і прологарифмуємо вираз:

;

або .

Тоді:

.

Оскільки , то границя, яку ми знаходили, дорівнює:

.

Функція називається зростаючою на інтервалі , якщо більшому значенню аргументу із цього інтервалу відповідає більше значення функції, тобто при , де і – будь-які дві точки із інтервалу є справедливою нерівність .

Якщо більшому значенню аргументу із цього інтервалу відповідає менше значення функції, тобто при є справедливою нерівність , то функція називається спадною на інтервалі .

Зростання і спадання функції на інтервалі тісно пов'язано із знаком похідної функції у точках цього інтервалу.

Необхідні умови зростання і спадання функції:

Якщо диференційовна функція на інтервалі зростає (спадає), то її похідна на цьому інтервалі не від’ємна (не додатна), тобто ().

Достатні умови зростання і спадання функції:

Якщо неперервна на відрізку функція в кожній точці відрізка має додатну (від’ємну) похідну, то вона зростає (спадає) на цьому відрізку.

Інтервали, у яких функція є лише зростаючою або лише спадною, називаються проміжками монотонності.

Ці проміжки обмежені критичними точками І роду – значеннями аргументу, при яких похідна функції дорівнює нулю або не існує.

Для знаходження проміжків монотонності, необхідно нанести на числову вісь граничні точки області визначення та усі критичні точки функції. Числова вісь при цьому розбивається на деяку кількість інтервалів, на кожному з яких похідна не змінює знак. Для того щоб дізнатися зростає або спадає функція на даному інтервалі, достатньо з'ясувати який знак має похідна в довільній точці цього інтервалу. Якщо в цій точці , то функція зростає на даному інтервалі, якщо – то функція спадає на даному інтервалі.

Дата добавления: 2015-05-26