Многофакторный эксперимент и его особенности

Наиболее часто встречающейся на практике задачей является установление вида функции многих независимых переменных

.

Осуществление многофакторного эксперимента существенно более трудоемко. Число опытов n, число уровней варьирования переменных q (число уровней варьирования зависит от вида принятой аппроксимирующей зависимости, от числа коэффициентов модели) и число исследуемых факторов k связаны соотношением

.

Это катастрофическое возрастание числа n необходимых опытов с ростом числа учитываемых факторов получило название "проклятие размерности".

В 1925–1929 гг. Рональд Фишер показал, что "проклятие размерности" наложено на нас только до тех пор, пока мы находимся в плену традиций однофакторного эксперимента, т.е. пытаемся по очереди снимать частные зависимости , а все другие влияющие факторы, кроме исследуемого, стараемся стабилизировать (классическое правило гласит: "никогда не меняй два фактора x_i и x _j одновременно, т.к. не поймешь, от чего же изменился y ").

Фишер отказался от этого правила в пользу многофакторного эксперимента, т.е. в пользу одновременного варьирования всех k переменных. При этом, правда, нельзя логически заключить, от какого сочетания факторов x_j произошло изменение отклика y, однако можно составить систему уравнений и, решив ее, сразу получить коэффициенты влияния для всех k факторов.

Принципиальное отличие многофакторной математической модели от однофакторной состоит в невозможности ее графического изображения. Это создает трудности в подборе адекватной модели (неадекватность модели можно обнаружить по графику ). Если для принятия решения о выборе модели нет никаких данных, и его приходится принимать на собственный страх и риск, то такое решение называют волевым. Если же имеются какие-то, хотя бы отдаленные, аналогии, ассоциации, косвенные соображения, наводящие на мысль о возможности принятия той или иной зависимости, то она называется эвристической.

На практике обычно прибегают к волевому назначению вида математической модели и последующей проверки ее адекватности.

Из опыта различных наук известно, что большая часть уже полученных формул, описывающих самые разные явления, имеет вид произведения величин в различных степенях: . Исходя из этого, можно выдвинуть гипотезу о том, что исследуемая многофакторная зависимость имеет аналогичный вид. Линеаризуя ее при помощи операции логарифмирования получаем выражение , для которого существует стандартная программа метода наименьших квадратов.

Большая трудоемкость многофакторного эксперимента обусловлена катастрофическим возрастанием числа необходимых опытов с ростом числа учитываемых факторов. Поэтому все усилия теории планирования экспериментов направлены на предельное сокращение числа опытов. Это достигается жесткой экономией во всех возможных направлениях:

· использование предельно упрощенных математических моделей;

· предельным сокращением числа определяемых точек (не более двух для определения коэффициентов прямой линии, не более трех – для кривой второго порядка, k +1 точка – для гиперплоскости, – для модели второго порядка, где k – число варьируемых факторов);

· статистическое усреднение, требующее многих избыточных измерений, обеспечивается за счет использования данных из опытов, которые при однофакторных экспериментах принадлежали бы разным однофакторным зависимостям. Но для этого размещение опытов в пространстве факторов должно быть произведено особым образом, называемым " оптимальным планом эксперимента ".

При планировании эксперимента возникают три основные задачи:

· сколько проводить экспериментов;

· какие значения придавать факторам;

· в каком сочетании различным факторам придавать различные значения.

Какие значения придавать факторам? В задаче оптимизации для каждой переменной должны быть заданы граничные условия . Значения x_j называют натуральными. Для универсальности описания в планировании эксперимента имеют дело с относительными переменными g_j. Переход от натуральных переменных к относительным производится по формуле

,

где – центральное значение интервала; – половина интервала.

Таким образом, нижняя граница интервала , центр интервала , верхняя граница , т.е. относительная переменная принимает значения .

С точки зрения значений, которые необходимо придавать каждому фактору, эксперименты могут быть двух, трех и многоуровневыми. В двухуровневом эксперименте факторам последовательно придают два значения: и . Двухуровневый эксперимент проводят в случае, когда предполагают, что функция отклика представляет линейную зависимость. Трехуровневый эксперимент дает данные для функции отклика второго порядка. При этом факторам придают значения , и . Многоуровневый эксперимент применяют, когда функция отклика второго порядка не аппроксимирует результаты эксперимента.

Эксперимент, в котором опыты проводят при всех возможных сочетаниях факторов, называют полным факторным экспериментом ПФЭ. Число опытов в полном факторном эксперименте (q – число уровней варьирования; k – число факторов). Число коэффициентов l в аппроксимирующей зависимости не превышает числа опытов в ПФЭ (для многочлена второго порядка ). Число проводимых опытов должно быть не меньше числа коэффициентов в аппроксимирующей зависимости.

Сравнение числа опытов при ПФЭ для двух и трех уровней при различном числе факторов k и числа коэффициентов регрессии l приведено в таблице

k
l

Проведение каждого опыта достаточно трудоемко, поэтому естественно стремление уменьшить число опытов до минимально допустимого значения.

Пути сокращения числа опытов.

1. Проведение дробного факторного эксперимента. В этом случае из всех опытов необходимых при полном факторном эксперименте, некоторые сочетания исключаются, и опыты при этих сочетаниях не производятся. Существуют различные правила исключения некоторых сочетаний. Отметим лишь, что опыты, в которых все факторы находятся на одном уровне (1; 0;–1) исключать не следует. Исключение части опытов не должно нарушать рототабельности планов (т.е. равноточности по всем направлениям).

2. Составление композиционных планов (звездных планов). В композиционных планах за основу принимают двухуровневый полный факторный эксперимент и к нему добавляют эксперименты, проводимые на других уровнях: как в центре, так и на расстоянии звездного плеча , где - звездное плечо.

,

где k – число факторов, p – дробность реплики – число раз последовательного деления количества опытов ПФЭ на 2 (p= 1 – полуреплика, p= 2 – четверть реплика...)

Существуют различные рекомендации по числу дополнительных опытов. Одна из них заключается в том, что в центре плана проводится количество дополнительных опытов, равное

.

В таком композиционном плане общее число опытов составляет

.

При этом число опытов достаточно для определения l коэффициентов регрессии и оценки адекватности модели и в то же время существенно меньше, чем число опытов в трехуровневом полном факторном эксперименте.

После составления плана эксперимента, проведения опытов на экспериментальной установке (как правило, порядок следования опытов выбирают случайным, т.е. проводят рандомизацию плана) и обработки результатов по методу наименьших квадратов, т.е. определения коэффициентов регрессии, получают функции отклика , которую и представляют в форме записи ограничений для задач оптимизации

.

Дата добавления: 2015-05-26