КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Ортонормированная система векторов, ее свойства
Определение 3.5. Два вектора евклидового пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю: . Из определения скалярного произведения следует, что нулевой вектор ортогонален любому вектору . Определение 3.6. Вектор называется ортогональным подпространству , если он ортогонален каждому вектору этого подпространства. Если , то вектор ортогонален подпространству тогда и только тогда, когда . Определение 3.7. Система векторов евклидова пространства называется ортогональной, если любые её два вектора ортогональны: , , . Теорема 3.5. Любая ортогональная система ненулевых векторов линейно независима. □ Составим равенство , (3.9) где некоторые действительные числа. Умножив равенство (3.9) скалярно на вектор , на основании свойств скалярного произведения получим: , откуда . Так как , то равенство (3.9) примет вид , (3.10) Умножив равенство (3.10) скалярно на вектор , получим . И так далее. Окончательно получаем, что все коэффициенты равны нулю. Тогда по определению система ненулевых векторов линейно независима. ■ Теорема 3.6. Если ортогональная система векторов, то выполняется равенство (3.11) □ Вычислим скалярный квадрат вектора : , откуда и следует равенство (3.11). ■ Пусть далее – конечномерное () евклидово пространство. Определение 3.8. Если базис евклидова пространства представляет собой ортогональную систему векторов: , , , то он называется ортогональным базисом евклидова пространства . Определение 3.9. Вектор называется единичным, если его евклидова норма равна единице: . Очевидно, что любой ненулевой вектор можно преобразовать в единичный вектор следующим образом: . При этом говорят, что вектор пронормирован, а число называют нормирующим множителем. Определение 3.10. Ортогональный базис евклидова пространства называется ортонормированным, если каждый вектор () этого базиса – единичный, то есть Использование ортонормированного базиса облегчает вычисление скалярного произведения в координатной форме. Пусть – ортонормированный базис и разложение векторов в этом базисе имеет вид где координатные вектор-столбцы. Матрица Грама для системы векторов в этом случае имеет вид . Тогда скалярное произведение (3.5) в ортонормированном базисе примет наиболее простой вид . (3.12) В ортонормированном базисе также упрощается вычисление координат вектора – они вычисляются через скалярные произведения. Если разложение вектора по ортонормированному базису имеет вид , то умножив обе части последнего равенства скалярно на (), получим . Тогда разложение вектора по ортонормированному базису будет иметь вид .
Дата добавления: 2015-05-29; Просмотров: 4739; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |