Общее уравнение плоскости

Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору

Пример 14.2.

Определение 14.2.

Пример 14.1.

– уравнение сферы ().

1⁰ Уравнение линии в пространстве

Линию в пространстве можно рассматривать как пересечение двух поверхностей, поэтому она определяется двумя уравнениями:

.

.

Линия, как пересечение поверхностей, определяет окружность, лежащую в плоскости ().

2⁰ Общее уравнение плоскости

Дано: , – нормальный вектор, .

Написать уравнение плоскости.

Выберем произвольную точку ,

тогда , , т.е.

(14.1)

– уравнение плоскости.

Из уравнения (14.1) с помощью элементарных преобразований получим: или

(14.2)

– общее уравнение плоскости.

Очевидно, что общее уравнение плоскости является алгебраическим уравнением первого порядка относительно трех переменных и определяет поверхность первого порядка.

Проведем исследование (положение плоскости в частных случаях).

А). , .

Т.к. координаты точки - удовлетворяют данному уравнению, плоскость проходит через начало координат.

Б). , , , значит , следовательно .

Аналогично, если , ; , .

В). При , . Плоскость проходит через ось .

Аналогично, при – плоскость проходит через ось ;

при – плоскость проходит через ось .

Г). , . Данное уравнение определяет плоскость, параллельную , т.к. , , .

Аналогично, , ; , .

Д). , ().

Аналогично, , (); , ().

Дата добавления: 2015-05-29