Доказательство. Нормальное уравнение плоскости

Нормальное уравнение плоскости

Уравнение плоскости по трем точкам

Уравнение плоскости в отрезках

, , .

(14.3)

.

– уравнение плоскости в отрезках.

Пусть .

Выберем произвольную точку . Тогда , , .

Т.к. векторы лежат в одной плоскости, они компланарны, следовательно их смешанное произведение равно нулю:

(14.4)

.

– уравнение плоскости по трем точкам.

Нормальное уравнение плоскости строиться по аналогии с нормальным уравнением прямой и имеет вид:

. (14.5)

3⁰ Взаимное расположение плоскостей в пространстве

Пусть - нормальный вектор для плоскости .

Утверждение 14.1.

Вектор параллелен плоскости , заданный уравнением (14.2) тогда и только тогда, когда

. (14.6)

Утверждение 14.2.

Плоскость , заданная уравнением и плоскость , заданная уравнением параллельны тогда и только тогда, когда

. (14.7)

Действительно, , если и коллинеарны, т.е. , , , т.е. . Верно и обратное.

Утверждение 14.3.

Плоскости и совпадают тогда и только тогда, когда

. (14.8)

Утверждение 14.4.

Плоскости и пересекаются тогда и только тогда, когда и неколлинеарны, причем угол между ними равен углу между нормальными векторами.

Утверждение 14.5.

Пусть плоскости и пересекаются по прямой, тогда плоскость проходит через эту прямую, причем ее уравнение имеет вид:

, где одновременно. (14.9)

4⁰ Уравнение прямой в пространстве

Поскольку пересекающиеся плоскости пересекаются по прямой, то (14.10), причем (14.11).

Система уравнений (14.10) с условием (14.11) называется общим уравнением прямой в пространстве. Данная система линейных неоднородных уравнений совместна и имеет общее решение следующего вида:

(14.12)

,

где – частное решение (14.10), – фундаментальная система решений соответствующей системы линейных однородных уравнений.

Геометрически (14.12) означает:

Пусть точка . Любая точка получается прибавлением к радиус-вектору точки некоторого вектора, коллинеарного - направляющего вектора прямой.

Уравнение (14.12) можно переписать в виде или

, (14.13)

– векторно-параметрическое уравнение прямой или

(14.14)

– параметрические уравнения прямой в пространстве.

Исключая параметр , получим:

(14.15)

– канонические уравнения прямой в пространстве.

Здесь равенства (14.15) следует воспринимать как пропорцию.

Дата добавления: 2015-05-29