LII. Плоскость и прямая в пространстве 1 страница

Чтобы составить уравнение прямой в пространстве, следует знать на этой прямой какую-либо точку, которая называется начальной точкой, и направляющий вектор этой прямой.

Основные виды уравнений прямой в пространстве

§3.3. Прямая в пространстве

Определение 3.5. Направляющим вектором прямой называется любой ненулевой вектор, параллельный этой прямой.

Будем использовать следующие обозначения: В– направляющий вектор РїСЂСЏРјРѕР№, В– начальная (заданная) точка РЅР° РїСЂСЏРјРѕР№, В– произвольная (текущая) точка этой РїСЂСЏРјРѕР№, Врадиус-вектор точки , В– радиус-вектор точки .

Данные	УравненияВВВВВ	Название
,		векторное параметрическое	(3.26)
,		параметрические	(3.27)
,		канонические	(3.28)

Кроме того, прямую в пространстве можно задать в виде пересечения плоскостей:

Заметим, что в этих уравнениях коэффициенты при неизвестных не должны быть пропорциональными.

Пример 3.24. Составить канонические уравнения РїСЂСЏРјРѕР№, проходящей через точки ВРё .

∆ В качестве направляющего вектора возьмем , в качестве начальной точки – точку . Канонические уравнения записываем по примеру уравнений (3.28): .▲

Пример 3.25. Для РїСЂСЏРјРѕР№ Взаписать уравнения:

а) параметрические; б) в виде пересечения плоскостей.

∆ Р°) Прямая задана каноническими уравнениями, РёР· которых находим начальную точку В(ее координаты СЃ противоположными знаками записаны РІ числителях) Рё направляющий вектор , координаты которого находятся РІ знаменателях. Параметрические уравнения записываем РїРѕ примеру уравнений (3.27): .

б) Канонические уравнения прямой – это система трех уравнений первой степени:

РћРґРЅРѕ РёР· РЅРёС… является следствием РґРІСѓС… РґСЂСѓРіРёС…. Каждое РёР· этих уравнений РІ пространстве задает плоскость. Если точка лежит РЅР° РїСЂСЏРјРѕР№, то РѕРЅР° лежит РІРѕ всех трех плоскостях, С‚.Рµ. ее координаты удовлетворяют всем трем уравнениям. Для однозначного задания РїСЂСЏРјРѕР№ достаточно оставить РґРІР° РёР· РЅРёС…. Например, оставим первое Рё второе. После преобразований получим ВКонечно, задача имеет РЅРµ единственное решение, так как через данную РїСЂСЏРјСѓСЋ РІ пространстве РїСЂРѕС…РѕРґРёС‚ бесчисленное множество плоскостей. Для ответа РїРѕРґС…РѕРґСЏС‚ любые РґРІРµ РёР· РЅРёС…. в–І

Пример 3.26. Для РїСЂСЏРјРѕР№ Всоставить параметрические уравнения.

∆ 1-Р№ СЃРїРѕСЃРѕР±. Для составления параметрических уравнений требуется знать направляющий вектор РїСЂСЏРјРѕР№ Рё какую-РЅРёР±СѓРґСЊ ее точку. Заданная прямая представлена РІ РІРёРґРµ пересечения плоскостей. Если прямая лежит РІ плоскости , то ее направляющий вектор Вперпендикулярен нормальному вектору Вэтой плоскости (СЂРёСЃ.3.18). Поэтому направляющий вектор РїСЂСЏРјРѕР№, заданной РІ РІРёРґРµ пересечения плоскостей, перпендикулярен как нормальному вектору Впервой плоскости, так Рё нормальному вектору Ввторой. Найдем векторное произведение:

.

Направляющим вектором искомой прямой возьмем вектор , коллинеарный векторному произведению.

Система, которая задает РїСЂСЏРјСѓСЋ, имеет бесчисленное множество решений. Р’ качестве координат начальной точки можно взять любое РёР· РЅРёС…. Р?РЅРѕРіРґР° это решение можно просто увидеть. Если же увидеть РЅРµ удается, зафиксируем РѕРґРЅРѕ РёР· неизвестных, например, положим ВРё решим полученную систему (тем самым РјС‹ ищем точку пересечения заданной РїСЂСЏРјРѕР№ СЃ плоскостью ):

В В В В

Таким образом, искомая точка – это . Записываем параметрические уравнения: .

2-Р№ СЃРїРѕСЃРѕР±. Возьмем РІ качестве параметра РѕРґРЅСѓ РёР· переменных, например, положим ВРё выразим РёР· системы остальные переменные через :

В В В В

Получили те же уравнения: .

Очень часто второй способ оказывается проще первого, так как нет необходимости искать векторное произведение, а системы приходится решать в обоих случаях. ▲

Пример 3.27. Заданы вершины треугольника , ВРё . Составить:

а) векторное параметрическое уравнение медианы, проведенной из вершины ;

б) параметрические уравнения биссектрисы внутреннего угла и биссектрисы внешнего угла при вершине ;

в) уравнения высоты, проведенной из вершины , в виде пересечения плоскостей;

г) канонические уравнения высоты, проведенной из вершины .

∆ Р°) Для составления векторного параметрического уравнения РїСЂСЏРјРѕР№ (уравнения типа (3.26)) надо знать ее направляющий вектор Рё какую-РЅРёР±СѓРґСЊ точку. Р’ качестве начальной точки можно взять , РІ качестве направляющего вектора – вектор, коллинеарный , РіРґРµ В– середина В(СЂРёСЃ. 3.19). Переходим Рє вычислениям: , , . Векторные параметрические уравнения медианы (С‚.Рµ. РїСЂСЏРјРѕР№, РЅР° которой лежит медиана): .

Р±) Для составления параметрических уравнений РїСЂСЏРјРѕР№ также требуются начальная точка Рё направляющий вектор. Начальной точкой может служить РІСЃРµ та же точка . Р?Р· векторной алгебры РјС‹ знаем, что вектор Вделит пополам внутренний СѓРіРѕР», Р° вектор В– внешний СѓРіРѕР» треугольника РїСЂРё вершине В(СЂРёСЃ.3.20). Переходим Рє вычислениям:

, ; , ; ,

, .

Параметрические уравнения биссектрисы внутреннего угла при вершине : ;

параметрические уравнения биссектрисы внешнего угла при вершине : .

РІ) Р’ этом случае требуется найти РґРІРµ плоскости, проходящие через РїСЂСЏРјСѓСЋ, РЅР° которой лежит высота треугольника. РћРґРЅРѕР№ РёР· этих плоскостей, очевидно, является плоскость Взаданного треугольника, Р° второй – плоскость , проходящая через Вперпендикулярно вектору В(СЂРёСЃ.3.21). Для плоскости Вимеем РґРІР° вектора, параллельных ей: В() Рё В(); для плоскости В– вектор , перпендикулярный . Составляем общие уравнения плоскостей, выбирая для каждой РёР· РЅРёС… РІ качестве начальной точку .

,

значит, Вимеет уравнение , Р° В– уравнение

Вили .

Р?скомая прямая задается системой

г) Для составления канонических уравнений требуется начальная точка (ею может служить, например, точка ) и направляющий вектор. Чтобы найти направляющий вектор предлагаются три способа.

1-Р№ СЃРїРѕСЃРѕР±. Направляющий вектор высоты ортогонален вектору ВРё вектору , перпендикулярному плоскости треугольника (СЂРёСЃ.3.22). Р’ СЃРІРѕСЋ очередь, вектор Вортогонален векторам ВРё . Вектор, перпендикулярный РґРІСѓРј заданным, можно найти как РёС… векторное произведение. Поэтому

ВВВВВВВВВВВВВВВВ . ВВВВВВВВВВВ(3.29)

Подставляя координаты векторов ВРё , получаем

.

2-Р№ СЃРїРѕСЃРѕР±. Если В– высота треугольника , то РїРѕ СЂРёСЃСѓРЅРєСѓ 3.23 РІРёРґРёРј, что

ВВВ ВВВВВ .ВВВВВ ВВВВВВВВВВВВВВВВВВВ(3.30)

Сравнивая (3.29) и (3.30), замечаем, что векторы, найденные двумя способами, получились, как и следовало ожидать, коллинеарными.

3-Р№ СЃРїРѕСЃРѕР±. Запишем параметрические уравнения РїСЂСЏРјРѕР№ : . Если В– некоторая точка этой РїСЂСЏРјРѕР№, то ее координаты получаются РёР· параметрических уравнений РїСЂРё некотором значении , С‚.Рµ. . РўРѕРіРґР° В(СЂРёСЃ.3.24). Чтобы Вбыл ортогонален вектору , потребуем, чтобы РёС… скалярное произведение равнялось нулю: В В . Таким образом, , Рё опять получили вектор, коллинеарный РґРІСѓРј предыдущим.

Записываем канонические уравнения высоты, используя в качестве начальной точку , а в качестве направляющего вектора – : .▲

Взаимное расположение прямых в пространстве можно выяснить двумя способами.

1-Р№ СЃРїРѕСЃРѕР±. Какими Р±С‹ уравнениями РЅРё была задана прямая РІ пространстве, всегда можно найти ее направляющий вектор Рё какую-либо точку РЅР° этой РїСЂСЏРјРѕР№. Предположим, что РІ пространстве заданы РґРІРµ прямые ВРё . Обозначим РёС… направляющие векторы соответственно ВРё . Выберем также РЅР° каждой РёР· этих прямых РїРѕ точке: , .

Два вектора либо коллинеарны, либо неколлинеарны. Если векторы ВРё Вколлинеарны, то прямые РјРѕРіСѓС‚ либо быть параллельными, либо совпадать. Р’ том случае, РєРѕРіРґР° прямые совпадают, точки ВРё В– это РґРІРµ точки РЅР° РѕРґРЅРѕР№ Рё той же РїСЂСЏРјРѕР№, поэтому вектор Вколлинеарен каждому РёР· векторов ВРё В(СЂРёСЃ. 3.25). Если прямые параллельны, то вектор Внаправляющим векторам ВРё Внеколлинеарен (СЂРёСЃ. 3.26).

Если же векторы ВРё Внеколлинеарны, то прямые либо пересекаются, либо скрещиваются. Скрещивающимися называются те прямые, через которые нельзя провести РѕРґРЅСѓ плоскость. Поэтому, если векторы , ВРё Внекомпланарны, то прямые скрещиваются, РІ противном случае РѕРЅРё пересекаются.

Вывод:

В– прямые совпадают;

В– прямые параллельны;

, , ВРё Вкомпланарны – прямые пересекаются;

, ВРё Внекомпланарны – прямые скрещиваются.

2-Р№ СЃРїРѕСЃРѕР±.  Взаимное Врасположение Впрямых ВРІ Впространстве Втакже

почти всегда можно распознать по количеству их общих точек: если две прямые имеют одну общую точку, то они пересекаются, если бесчисленное множество – то совпадают, и только тогда, когда прямые общих точек не имеют, требуется дополнительное исследование (например, по взаимному расположению направляющих векторов).

Пример 3.28. Выяснить взаимное расположение пар прямых:

ВВВВ Р°) ВВРёВ ;

ВВВВ Р±) ВВРёВ ;

Дата добавления: 2015-05-29