LII. Плоскость и прямая в пространстве 2 страница

ВВВВ РІ) ВВРёВ .

∆ Так как во всех трех случаях известны начальные точки прямых и их направляющие векторы, то более рациональным будет первый способ.

Р°) Координаты направляющих векторов ВРё Впропорциональны, поэтому РѕРЅРё коллинеарны. Р?Р· уравнений прямых также находим , , значит,

.

Так как , то прямые совпадают.

Р±) направляющие векторы , Вопять коллинеарны, прямые либо параллельны, либо совпадают. Эти РґРІР° случая можно различить Рё так: РІ случае совпадения каждая точка РѕРґРЅРѕР№ РёР· прямых принадлежит также Рё второй. Р?Р· уравнений первой РїСЂСЏРјРѕР№ находим РѕРґРЅСѓ РёР· ее точек ВРё подставляем ее координаты РІ уравнения второй РїСЂСЏРјРѕР№: . Таким образом, , поэтому прямые параллельны.

Замечание. При наличии опыта можно все эти векторы не выписывать, а проверять их коллинеарность, сравнивая коэффициенты непосредственно в уравнениях прямых.

РІ) Р?Р· уравнений прямых находим следующие данные:

, , , , . Проверим компланарность векторов , ВРё , для чего вычислим РёС… смешанное произведение:

В= .

Так как , ВРё Внекомпланарны, то прямые скрещиваются. в–І

Пример 3.29. Выяснить взаимное расположение прямых. В случае их пересечения найти точку пересечения.

ВВВВ Р°) ВВРёВ ;

ВВВВ Р±) ВРёВ

ВВВВ РІ) ВРё ;

ВВВВ Рі)

∆ Эту задачу лучше решать вторым способом, т.к. точку пересечения все равно искать придется.

Р°) Чтобы найти общие точки прямых, надо решить систему, состоящую РёР· всех уравнений, задающих РѕР±Рµ прямые. Таким образом, получаем систему РёР· шести уравнений. Для решения же конкретной системы, полученной РІ этой задаче, проще всего приравнять неизвестные , выраженные РІ уравнениях каждой РёР· прямых через ВРё Всоответственно:

Получили систему трех уравнений СЃ РґРІСѓРјСЏ неизвестными. Р?Р· РґРІСѓС… последних уравнений находим . Эти значения удовлетворяют Рё первому уравнению, РІ чем можно убедиться непосредственной подстановкой. Система имеет единственное решение, значит, прямые пересекаются. Чтобы найти точку пересечения, следует полученное значение Вподставить РІ уравнения первой РїСЂСЏРјРѕР№, либо В– РІ уравнения второй. Таким образом, точкой пересечения является .

ВВВВ Р±) решаем систему, состоящую РёР· уравнений, задающих РѕР±Рµ прямые:

Решать же эту систему проще всего так: неизвестные , выраженные РІ первых трех уравнениях через , подставим РІ РґРІР° последних, РІ результате чего получим систему РґРІСѓС… уравнений СЃ РѕРґРЅРёРј неизвестным:

В В

Система имеет бесчисленное множество решений, поэтому прямые совпадают.

РІ) Перепишем уравнения первой РїСЂСЏРјРѕР№ РІ параметрическом РІРёРґРµ, Р° второй – РІ РІРёРґРµ пересечения плоскостей: ; ВПоступая, как РїСЂРё решении предыдущей задачи, получаем систему:

ВВВ В В ВВВВВВВВВВВВВВВ(3.31)

Р’ этом случае РѕРЅР° РЅРµ имеет решений, значит, прямые либо параллельны, либо скрещиваются. Проанализируем метод решения задачи. Вторая прямая задана РІ РІРёРґРµ пересечения плоскостей. Решая каждое РёР· уравнений системы (3.31), замечаем, что первая прямая пересекает каждую РёР· этих плоскостей, РЅРѕ РІ разных точках, откуда делаем вывод, что СЃ линией пересечения РѕРЅР° скрещивается (СЂРёСЃ.3.27).

Вообще, в том случае, когда одна из прямых задана параметрическими уравнениями, а вторая – в виде пересечения плоскостей, используя описанный метод решения, получаем систему двух линейных уравнений с одним неизвестным (систему типа (3.31)). Так как каждое из линейных уравнений с одним неизвестным может либо иметь единственное решение, либо бесчисленное множество решений, либо не иметь решений вовсе, то кроме описанных двух случаев могут возникать еще и следующие:

Всистема имеет единственное решение, прямые пересекаются;

Впервая прямая принадлежит первой плоскости, Р° второй параллельна, РїРѕ отношению Рє линии пересечения параллельна (СЂРёСЃ.3.28);

Впервая Впрямая параллельна каждой ВРёР· Впересекающихся плоско-

стей, по отношению к линии пересечения параллельна (рис.3.29);

Впервая прямая параллельна первой плоскости, Р° вторую пересекает, СЃ линией пересечения скрещивается (СЂРёСЃ.3.30).

ВВВВ Рі) Перепишем уравнения первой РїСЂСЏРјРѕР№ РІ параметрическом РІРёРґРµ. Р’ качестве параметра выберем, например, переменную В . РўРѕРіРґР° РёР· первого уравнения РїСЂСЏРјРѕР№ получаем , Р° РёР· второго – , Рё РІ результате параметрические уравнения первой РїСЂСЏРјРѕР№ выглядят так: . Составляем Рё решаем систему РёР· уравнений обеих прямых:

Р?Р· последней системы РІРёРґРёРј, что первая прямая параллельна каждой РёР· плоскостей, задающих вторую РїСЂСЏРјСѓСЋ (СЂРёСЃ. 3.29). Это означает, что заданные прямые параллельны. в–І

Вывод. Если прямые ВРё заданы параметрическими или каноническими уравнениями, то взаимное расположение РёС… направляющих векторов определяется непосредственно РёР· уравнений. Р’ том случае, РєРѕРіРґР° векторы коллинеарны, прямые параллельны или совпадают, остается проверить, принадлежит ли РїСЂСЏРјРѕР№ Вкакая-либо точка РїСЂСЏРјРѕР№ . Р’Рѕ всех остальных случаях лучше искать общие точки (2-Р№ СЃРїРѕСЃРѕР±), причем система для РёС… нахождения проще всего решается, РєРѕРіРґР° РѕРґРЅР° РёР· прямых задана параметрическими уравнениями, Р° вторая – РІ РІРёРґРµ пересечения плоскостей. Если это РЅРµ так, имеет смысл перейти именно Рє этим способам задания (СЃРј. пример 3.29).

28. Уравнения плоскости, проходящей через

а)данную точку параллельно двум неколлинеарным векторам;

Дано: R = , М₀(х₀, у₀, z₀), , , и неколлинеарны; П ' М₀, П // , П // .

Найти условия, определяющие П (рис. 46).

Решение. М Î П Û , и компланарны. Так как и неколлинеарны, то М Î П Û либо (u,v - любые действительные числа), либо определитель, составленный из координат этих векторов, равен нулю. Перепишем эти условия в координатах. Получим М Î П Û или М Î П Û (39)

Получили два вида уравнений плоскости: уравнение (39) и (40).

Уравнения (40) называются параметрическими уравнениями плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум данным векторам.

Так как , где и - радиусы-векторы точек М и М₀ соответственно. Тогда уравнение можно переписать (41). Это векторное уравнение плоскости.

Рис. 46 Рис. 47 Рис. 48

б)три не лежащие на одной прямой точки;

Дано: R = , М₁(х₁, у₁,z₁), М₂(х₂, у₂, z₂), М₃(x₃, у₃, z₃), точки M₁, M₂, M₃ не коллинеарные. П É í M₁, M₂, M₃ý.

Найти уравнения П (рис. 47).

Решение. Так как M₁, M₂, M₃ не коллинеарные, то векторы

и неколлинеарны. Используя уравнение (41), получим векторное уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:

. (42)

Используя (40) и (39), получим параметрические уравнения плоскости П и её уравнение в форме определителя. (43); (44)

в)данную точку перпендикулярно данному вектору.

Дано: , М ₀(х₀, у₀, z₀), , , П ' М₀, П ^ .

Найти уравнение П.

Решение. М Î П Û либо , либо Û . Так как , то М Î П Û (47)Это векторное уравнение данной плоскости.

Переходя к координатам, получим А (х - х₀) + В (у - у₀) + С(z - z₀) = 0(48)

Можно показать, что если плоскость задана в ПДСК общим уравнением (45), то вектор перпендикулярен этой плоскости.

29. Общее уравнение плоскости.

Если в уравнениях (39) или (44) раскрыть определители, то получим уравнение первой степени с тремя переменными, следовательно, в аффинной системе координат всякая плоскость может быть задана некоторым уравнением вида Ах + Ву + Сz + D = 0. Поставим обратную задачу: всякое ли уравнение вида Ах + Ву + Сz + D = 0 задаёт в аффинной системе координат некоторую плоскость.

Дано: R = , Ах + Ву + Сz + D = 0 (45), где коэффициенты А, В, С не все равны нулю.

Доказать: уравнение (45) задаёт плоскость.

Доказательство. Проведём доказательство, предполагая, что А ¹ 0. Если y = z = 0, то . Следовательно, координаты точки М₀ (, 0, 0) удовлетворяют уравнению (45), т.е. если плоскость существует, то она обязательно пройдёт через эту точку. Векторы и , очевидно, не коллинеарны. Используя (39), составим уравнение плоскости, проходящей через точку М₀ параллельно векторам и . Получим

После упрощения: Ах + Ву + Сz + D = 0, т.е. данное уравнение. Итак, (45) действительно задаёт плоскость.

Уравнение (45) называется общее уравнение плоскости.

Следствие. Если плоскость задана общим уравнением (45), то из векторов , и хотя бы два отличны от и неколлинеарны. Любой ненулевой вектор из них параллелен данной плоскости.

30. Нормальное уравнение плоскости. Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду.

где - углы, образуемые нормальным вектором плоскости с осями координат; p - расстояние от начала координат до плоскости.

Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду:

Здесь - нормирующий множитель плоскости, знак которого выбирается противоположным знаку D, если произвольно, если D = 0.

31. Исследование взаимного расположения двух и трёх плоскостей.

Дано: R = , П₁: А₁х + В₁у + С₁z + D₁ = 0, П₂: А₂х + В₂у + С₂z + D₂ = 0.

Исследовать взаимное расположение П₁, П₂.

Решение. Задача сводится к исследованию системы (46)

Возможны случаи.

1.А₁,В₁,С₁ и А₂, В₂, С₂ не пропорциональны. В этом случае система (46) имеет бесконечно много решений, но уравнения не пропорциональны. На геометрическом языке получаем, что плоскости имеют бесконечно много общих точек, но не совпадают. Следовательно, П₁ и П₂ пересекаются по прямой.

Замечание. Если прямая задана общими уравнениями (19), то каждое отдельно взятое уравнение задаёт прямую, т.е. прямая задаётся как линия пересечения двух плоскостей.

2. . В этом случае уравнения системы (46) эквивалентны, т.е. каждое решение одного из них является решением второго. На геометрическом языке: каждая точка одной плоскости лежит на другой, т.е. плоскости совпадают.

3. . В этом случае системы (46) не имеет решений. На геометрическом языке: плоскости не имеют общих точек.

Следствие. Плоскости П₁: А₁х + В₁у + С₁z + D₁ = 0, П₂: А₂х + В₂у + С₂z + D₂ = 0 параллельны тогда и только тогда, когда .

Задача 16. Исследовать взаимное расположение плоскостей, если одна из них задании общим уравнением, а вторая – параметрическими уравнениями.

Дано: R = , П₁: Ах + Ву + Сz + D = 0, П₂: Исследовать взаимное расположение П₁, П₂.

Решение. Задача сводится к исследованию системы (*)

Подставив выражения х, у, z в первое уравнение и преобразовав его, получим

(**)

Возможны случаи:

1) ¹ 0 (или ¹ 0). В этом случае уравнение (**) имеет бесконечно много решений, зависящих от одного параметра. Следовательно, система (*) тоже имеет бесконечно много решений, зависящих от одного параметра. На геометрическом языке это значит, что плоскости пересекаются по прямой.

2) = 0, = 0, = 0. В этом случае уравнение (**) имеет вид 0×u + 0×v + 0 = 0. Этому уравнению удовлетворяют все возможные значения u и v. На геометрическом языке это значит, что все точки первой плоскости лежат на второй и наоборот. Следовательно, плоскости совпадают.

3) = 0, = 0, ¹ 0. В этом случае уравнение (**) имеет вид 0×u + 0×v + () = 0. Это уравнение не имеет ни одного решения. На геометрическом языке это значит, что данные плоскости не имеют общих точек.

Следствие. Если П₁: Ах + Ву + Сz + D = 0, П₂: то П₁ || П₂ Û = 0, = 0.

32. Угол между двумя плоскостями. Условия перпендикулярности двух плоскостей.

Дано: , П₁: А₁х + В₁у + С₁z + D₁ = 0, П₂: А₂х + В₂у + С₂z + D₂ = 0.

Найти один из углов между П₁ и П₂.

Решение. Из уравнений П₁ и П₂ следует, что и перпендикулярны плоскостям П₁ и П₂ соответственно. Если О – точка на линии пересечения П₁ и П₂, t₁ и t₂ лежат в плоскостях П₁ и П₂, проходят через точку О и перпендикулярны линии пересечения этих плоскостей (рис. 34), то = (П₁, П₂). Но по свойству углов со взаимно перпендикулярными сторонами либо равен углу , либо дополняет его до 180⁰. И в том, и в другом случае равен одному из углов между П₁ и П₂. Следовательно,

Дата добавления: 2015-05-29