LII. Плоскость и прямая в пространстве 3 страница

Cos((П₁, П₂) = (49)

Рис. 49 Рис. 51

Условие перпендикулярности двух плоскостей

Плоскости α и β перпендикулярны, если одна плоскость проходит через перпендикуляр другой плоскости.

или

33. Расстояние от точки до плоскости.

Дано: , П: Ах + Ву + Сz + D = 0, М (х₀, у₀, z₀).

Найти расстояние d (M₀, П) от точки М₀ до плоскости П.

Из уравнения плоскости П следует, что вектор перпендикулярен плоскости П. Опустим из точки М₀ перпендикуляр NM₀ на плоскость П (рис. 51). Пусть N (x₁, y₁, z₁). Тогда Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D = 0 (*). Искомое расстояние d (M₀, П) = (**)

Вектор коллинеарен с вектором . Так как , то (***). Отсюда и из равенства (**) следует, что d (M₀, П) = = (****). Итак, задача свелась к нахождению d. Умножим скалярно на обе части равенства (***), получим .

Перейдя к координатам и учитывая, что система координат прямоугольная, получим A (x₀ - x₁) + B (y₀ - y₁) + C (z₀ - z₁) = d(A² + B² + C²). Так как A² + B² + C² ¹ 0, то

.

Из равенства (*) следует, что = - D. Итак, . Подставив d в (**), получим d (M₀, П) = (52)

Задача 18. Дано: , П: 12 х + 3 у - 4z - 35 = 0.

Найдите уравнения плоскостей, параллельных П и отстоящих от неё на расстоянии 5.

Решение. Обозначим искомые плоскости П₁ и П₂. Тогда М Î (П₁ È П₂) Û d (M, П) = 5. Используя формулу (52), получим М Î (П₁ È П₂) Û . После упрощения получим . Раскрывая модуль, получим уравнения двух плоскостей:

П₁: 12 х + 3 у - 4z - 80 = 0 и П₂: 12 х + 3 у - 4z + 10 = 0.

34. Уравнения прямой, проходящей через а) данную точку параллельно данному вектору; б) две данные точки.

а) данную точку параллельно данному вектору (каноническое уравнение прямой)

Пусть прямая проходит через точку параллельно вектору . Тогда вектор , где – произвольная точка прямой, коллинеарен вектору – направляющему вектору прямой и координаты любой точки прямой удовлетворяют каноническому уравнению прямой

.

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Если прямая проходит через точки и , то ее направляющим вектором можно считать вектор .

Уравнением прямой, проходящей через две точки и называется уравнение вида

.

В случае, когда один из знаменателей равен нулю ( соответствующий числитель тоже равен нулю (: если , то прямая, проходящая через точки и , параллельна оси ординат и ее уравнение имеет вид

если , то прямая, проходящая через точки и , параллельна оси абсцисс и ее уравнение имеет вид

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две точки, находится по формуле .

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точки и

Решение. или , так как , то прямая имеет уравнение , значит она параллельная оси ординат.

35. Общие уравнения прямой, приведение общих уравнений к каноническому виду.

Для перехода от общего уравнения прямой (4.31) к каноническому (4.34) нужно выполнить следующие действия:

1)найти любое решение системы

определяя тем самым координаты точки , принадлежащей прямой;

2) найти направляющий вектор прямой как векторное произведение нормалей заданных плоскостей:

3) записать каноническое уравнение с учетом пунктов 1 и 2.

4. Чтобы перейти от канонического уравнения к общему, достаточно двойное равенство (4.34) записать в виде системы и привести подобные члены.

5. Чтобы перейти от канонического уравнения к параметрическому, следует приравнять каждую дробь в уравнении (4.34) параметру t и записать полученные равенства в виде системы (4.33):

6. Если в каноническом уравнении (4.34) прямой фиксировать координаты точки , а коэффициентам придавать произвольные значения (не равные нулю одновременно), то получим уравнение связки прямых с центром в точке , т.е. совокупность всех прямых, проходящих через точку .

7. Параметрическое (4.33) и каноническое (4.34) уравнения прямой, полученные в прямоугольной системе координат, имеют тот же вид в любой другой аффинной системе координат. Геометрический смысл коэффициентов в уравнениях остается прежним.

36. Исследование взаимного расположения а) двух прямых, б) прямой и плоскости.

Взаимное расположение двух прямых и пространстве характеризуется следующими тремя возможностями.

· Прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек — параллельные прямые.

· Прямые лежат и одной плоскости и имеют одну общую точку — прямые пересекаются.

· В пространстве две прямые могут быть расположены еще так, что не лежат ни в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися (не пересекаются и не параллельны).

Теорема. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость и точке, которая не лежит на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.

На рис. 26 прямая a лежит в плоскости , а прямая с пересекает в точке N. Прямые a и с — скрещивающиеся.

Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит только одна плоскость, параллельная другой прямой.

На рис. 26 прямые a и b скрещиваются. Черен прямую а проведена плоскость || b (в плоскости указана прямая a₁ || b).

Примеры скрещивающихся прямых: трамвайный рельс и троллейбусный провод по пересекающейся улице, нeпересекающиеся и непараллельные ребра пирамид или призм и пр. Все три случая можно видеть еще на примере прямых, по которым встречаются стены и потолок или стены и пол комнаты.

б) прямой и плоскости.

Прямая может лежать на данной плоскости, быть параллельна данной плоскости или пересекать ее в одной точке, см. следующие рисунки.

Теорема. Пусть плоскость задана общим уравнением ,а прямая L задана каноническими уравнениями или параметрическими уравнениями

, ,в которых координаты нормального вектора плоскости , – координаты произвольной фиксированной точки прямой L, – координаты направляющего вектора прямой L. Тогда:

1) если , то прямая L пересекает плоскость в точке, координаты которой можно найти из системы уравнений

(7)

2) если и , то прямая лежит на плоскости;

3) если и , то прямая параллельна плоскости.

Доказательство. Условие говорит о том, что векторы и не ортогональны, а значит прямая не параллельна плоскости и не лежит в плоскости, а значит, пересекает ее в некоторой точке М. Координаты точки М удовлетворяют как уравнению плоскости, так и уравнениям прямой, т.е. системе (7). Решаем первое уравнение системы (7) относительно неизвестной t и затем, подставляя найденное значение t в остальные уравнения системы, находим координаты искомой точки.

Если , то это означает, что . А такое возможно лишь тогда, когда прямая лежит на плоскости или параллельна ей. Если прямая лежит на плоскости, то любая точка прямой является точкой плоскости и координаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению плоскости. Поэтому достаточно проверить, лежит ли на плоскости точка . Если , то точка – лежит на плоскости, а это означает, что и сама прямая лежит на плоскости.

Если , а , то точка на прямой не лежит на плоскости, а это означает, что прямая параллельна плоскости. Теорема доказана.

37. Расстояние а) от точки до прямой,

Дано: , l: , М₁(x₁, y₁, z₁).

Найти расстояние d (M₁, l).

Из уравнений прямой l следует, что точка M₀ (x₀, y₀, z₀) лежит на прямой l и вектор параллелен этой прямой. Искомое расстояние равно высоте параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах (рис. 37). Следовательно,

.Переписав это равенство в координатах, получим (53)

б) между скрещивающимися прямыми.

Дано: , l₁: ,l₂ : , l₁ и l₂ скрещиваются.

Найти d (l₁, l₂).

Из уравнений l₁ и l₂ следует, что M₁ (x₁, y₁, z₁) Î l₁,M₂ (x₂, y₂, z₂)Î l₂ и векторы и параллельны прямым l₁ и l₂ соответственно. Искомое расстояние равно высоте параллелепипеда, построенного на векторах , и .

Следовательно, .Переписав это равенство в координатах, получим

(54)

Задача 19. Дано: , l₁: l₂:

Проверьте, что l₁ и l₂ скрещиваются и найдите расстояние между ними.

Решение. Найдём направляющий вектор прямой l₁ и какую-нибудь точку на ней.

, М₁ = {1, 2, 9}. Из уравнений l₂ следует, что

М₂ (4, -1, 0) и 1, 3}. Вычислим . Следовательно, l₁ и l₂ скрещиваются. Найдём . Следовательно, = и .

38. Угол между а) двумя прямыми,

б) прямой и плоскостью.

Дано: , П: Ах + Ву + Сz + D = 0, t: .

Найти один из углов между П и t.

Решение. Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и её ортогональной проекцией на плоскость. Из уравнений прямой и плоскости вектор перпендикулярен плоскости П, а вектор параллелен прямой t. Следовательно, ). Отсюда следует, что sin(П, = (50)

Из свойств векторов и следует: П // t Û ; П ^ t Û (51)

а)Угол между двумя прямыми в пространстве

За угол между двумя прямыми в пространстве принимают один из двух смежных углов, который образует прямые, проведенные параллельно данным через какую-нибудь точку в пространстве.

Один из этих углов равен углу между направляющими векторами этих прямых.

Где первая прямая задается:

а₁=(m_1,n₁,p₁)

Вторая прямая задается:

а₂=(m₂, n₂, p₂)

Если прямые параллельны, то

Если прямые перпендикулярны, то m₁m₂+n₁n₂+p₁p₂=0.

39. Геометрический смысл неравенств Ах + Ву + Сz + D £ 0 (< 0, > 0, ³ 0).

Дано: R = , Ах + Ву + Сz + D ³ 0.

Исследовать, какую фигуру задаёт данное неравенство.

Уравнение Ах + Ву + Сz + D = 0 задаёт плоскость. Пусть это плоскость П. Рассмотрим все точки пространства, не лежащие на П.

Вектор не параллелен плоскости П. Действительно, если бы был параллелен П, то А×А + В×В + С×С = А² + В² + С²= 0. Но это не возможно. Рассмотрим множество всех точек пространства, не лежащих на плоскости П. Пусть М – любая из этих точек. Проведём через точку М прямую, параллельную вектору , и пусть она пересекает П в точке N. Векторы и коллинеарны, , следовательно, . (*) Очевидно, l > 0 Û когда точки М лежат в одной открытой полуплоскости с границей П, а именно в той, в сторону которой направлен вектор . И l < 0 Û когда точки М лежат в другой открытой полуплоскости с этой же границей. Перейдём к координатам. Пусть М (х, у, z) и N (х₁, у₁, z₁). Тогда = {x - x₁, y - y₁, z - z₁}. Равенство (*) в координатах перепишется:x - x₁ = lA, y - y₁ = lB, z - z₁ = lC.

Отсюда x₁ = x - lA, y₁ = y - lB, z₁ = z - lC. Так как N Î П, то Ах₁ + Ву₁ + Сz₁ + D = 0. Следовательно, А(x - lA) + В(y - lB) + С (z - lC) + D = 0. Ах + Ву + Сz + D = l (A² + B² + C²).

Так как A² + B² + C² > 0, то знак Ах + Ву + Сz + D совпадает со знаком l.

Итак, Ах + Ву + Сz + D > 0 Û точки М лежат в одной открытой полуплоскости с границей П, а именно в той, в сторону которой направлен вектор . Ах + Ву + Сz + D > 0 Û точки М лежат в другой открытой полуплоскости с этой же границей.

Неравенства Ах + Ву + Сz + D ³ 0 и Ах + Ву + Сz + D £ 0 определяют замкнутые полуплоскости (их называют просто полуплоскости) с границей П.

Задача 20. Какую фигуру задаёт в аффинной системе координат система ? Решение. Уравнение x + z - 2 = 0 задаёт плоскость П₁, параллельную оси (Оу) и пересекающую оси (Ох) и (Оz) в точках (2, 0, 0) и (0, 0, 2) соответственно. Неравенство задаёт полуплоскость с границей П₁, в которой не лежит начало координат (ибо координаты начала координат не удовлетворяют этому неравенству). Уравнение 2x + y - 4 = 0 определяет плоскость П₂, параллельную оси (Оz) и пересекающую оси (Ох) и (Оу) в точках (2, 0, 0) и (0, 4, 0). Неравенство задаёт полуплоскость с границей П₂, в которой не лежит начало координат. Плоскости П₁ и П₂ пересекаются по прямой АВ. Данная система задаёт пару вертикальных двугранных углов с гранями П₁ и П₂, ни в одном из которых не лежит начало координат.

40. Пучки параллельных и пересекающихся плоскостей.

Пучок плоскостей
Если

есть ось пучка, то уравнение пучка

Определение. Пучком плоскостей называется множество всех плоскостей пересекающихся по одной и той же прямой, называемой осью пучка.

рис.3.

Теорема. Пусть

и

– две плоскости, пересекающиеся по прямой L. Тогда уравнение

, (10)

где – произвольные действительные числа одновременно не равные нулю, есть уравнение пучка плоскостей с осью пучка L.

Пример. Найти уравнение пучка плоскостей, осью которого является ось абсцисс.

Решение. Очевидно, что координатные плоскости

и пересекаются по оси Ох.

Тогда уравнение (10) в данном случае принимает вид . Заменив греческие буквы на латинские, получаем , (11) где – произвольные действительные числа, одновременно не равные нулю. Уравнение (11) есть искомое уравнение пучка плоскостей с осью пучка Ох.

Аналогично, уравнение , (12) есть уравнение пучка плоскостей с осью пучка Оу, а уравнение (13) есть уравнение пучка плоскостей с осью пучка Оz.

Дата добавления: 2015-05-29