Линейно независимыми

Определение 6.4

Определение 6.3

Определение 6.2

Множество элементов , в котором определены операции сложения и умножения элемента на число, удовлетворяющие аксиомам (1-8), называется линейным (векторным) пространством.

Элементы множества называют векторами.

Линейной комбинацией векторов с коэффициентами называется выражение вида: .

Вектора называются линейно зависимыми, если , из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие что линейная комбинация с этими является нулевым вектором V, т.е. (6.1).

Если , то вектора называются

Из данного определения вытекают следующие утверждения:

1) Если среди векторов есть нуль-вектор, то они линейно зависимы.

Доказательство

Пусть, например, , тогда, , так как не все равны нулю, выполняется равенство (6.1).

2) Если часть векторов линейно зависима, то и все вектора линейно зависимы.

Доказательство

Пусть .

Среди есть неравные нулю, то есть выполняется тождество (6.1) и для всех векторов.

3) Теорема 6.1

Векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией всех других.

Доказательство

линейно зависимы, то есть выполняется равенство (6.1).

Пусть , тогда - линейная комбинация.

Пусть - линейная комбинация, тогда , то есть выполняется равенство (6.1), а это значит, что вектора линейно зависимы.

Дата добавления: 2015-05-29