Пример 6.1

Базис линейного пространства

Определение 6.5

Совокупность векторов называют базисом в , если:

1. вектора – линейно независимы;

2. для найдутся , такие, что . (6.2)

При этом равенство (6.2) называется разложением элемента по базису , а называются координатами относительно базиса .

Пусть . Показать, что вектора линейно независимы.

,

,

то есть данные вектора линейно независимы.

Добавим к этой системе векторов еще один вектор: .

Легко убедиться, что - линейная комбинация,

т.е. - линейно зависимые вектора.

Теорема 6.2 (о единственности разложения по базису).

Любой элемент может быть единственным образом разложен по базису , т.е. .

Координаты вектора относительно базиса определяются однозначно.

Доказательство.

Пусть и . Тогда . В силу линейной независимости .

Теорема 6.3 (операции над векторами, заданными своими координатами).

При сложении любых двух векторов , их координаты (относительно любого фиксированного базиса в ) складываются.

При умножении на все координаты вектора умножаются на это число.

Доказательство.

Пусть – базис в , , . Тогда в силу аксиом линейного пространства , . В силу единственности разложения по базису что теорема доказана.

Определение 6.6

Линейное пространство называется n–мерным, если

1. В нем существуют n линейно независимых векторов.

2. Любой -й вектор линейно зависим.

Если задана система векторов

,

где , , а координаты заданы в одном и том же базисе,

то - матрица системы векторов, где в -м столбце стоят координаты вектора .

Дата добавления: 2015-05-29