Формула Тейлора

Упражнения для самостоятельной работы

Определить значения следующих выражений:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30. 31.

32. 33. 34. 35.

36. 37. 38.

39. 40. 41.

42. 43.

44. 45. 46.

47.

48. 49.

50. 51. 52.

53.

54.

55. 56.

57. 58.

59. Показать, что следующие пределы не могут быть вычислены по правилу Лопиталя, и найти эти пределы:

1) ; 2)

60. Исследовать возможность применения правила Лопиталя к следующему пределу: .

Локальная формула Тейлора или формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Пусть функция , определённая в окрестности точки , имеет в этой окрестности производные до -го порядка включительно, а в точке существует . Тогда справедливо следующее представление:

Многочлен называется многочленом Тейлора функции в точке , а функция - -тым остаточным членом.

Формула Тейлора на промежутке.

Если на отрезке с концами и функция непрерывна вместе со своими производными до -го порядка включительно, а во внутренних точках она имеет -ю производную, то какова бы ни была функция непрерывная на данном отрезке и имеющая отличную от нуля производную в его внутренних точках, найдётся точка лежащая между и и такая, что

Если при выполненных условиях теоремы

1) - произвольно, то остаточный член в формуле Тейлора представим в виде Шлемильха-Роша:

2) то остаточный член в формуле Тейлора представим в форме Лагранжа:

3) то остаточный член в формуле Тейлора представим в форме Коши:

Если то формула Тейлора принимает вид:

и называется формулой Маклорена.

Справедливы пять важных разложений:

1.

2.

3.

4.

5.

В примерах 1-14 разложить функцию по формуле Маклорена до

Пример 1.

Пользуясь разложением 1, получим:

Пример 2.

Так как т.е. то разложение по формуле Тейлора будет иметь следующий вид:

Пример 3.

Учитывая, что и используя разложение 1, получим:

Пример 4.

Так как то с использованием разложения 5 будем иметь:

Пример 5.

Из разложения 4 следует:

Поэтому

Пример 6.

Преобразовав подкоренное выражение, используем затем разложение 5:

где

Пример 7.

После преобразований применим разложение 4:

Учитывая, что и , будем иметь:

Пример 8.

Разделив числитель на знаменатель, представим в виде:

Тогда

Пример 9.

Так как

то используя разложение 2, будем иметь:

Пример 10.

Учитывая, что а

получим:

Пример 11.

Используя формулу преобразуем функцию:

Применяя разложение 3, будем иметь:

Пример 12.

Преобразуя функцию с помощью формул понижения степени получим: откуда с использованием разложения 3 будем иметь:

Пример 13.

Представим в виде суммы дробей:

Пример 14.

Преобразуем функцию:

Воспользуемся разложением 5, введя для краткости следующее общепринятое обозначение:

тогда Следовательно,

Заменяя переменную окончательно получим:

Если функция имеет вид: и известны разложения функций и по формуле Тейлора в окрестности точки до

причём то для нахождения разложения функции применим метод неопределённых коэффициентов. Пусть искомое разложение имеет вид:

тогда, так как или

то приравнивая в последнем равенстве коэффициенты при одинаковых степенях в правой и левой частях, получим систему алгебраических уравнений для определения

Пример 15. Применяя метод неопределённых коэффициентов, разложить по формуле Маклорена функцию до

Учитывая, что функция нечётная и т.е. будем иметь:

Применяя разложения 2 и 3 и формулу получим:

Приравнивая коэффициенты при и находим:

Итак,

Если - сложная функция и известны разложения функций и по формуле Тейлора:

то для нахождения коэффициентов разложения

нужно в формулу подставить заменить её разложением и произвести арифметические действия, сохраняя лишь члены вида где

Пример 16. Разложить по формуле Маклорена до функцию

Используя разложения 2 и 4, получим:

Для имеем: поэтому, оставляя лишь члены вида , будем иметь:

Если требуется разложить функцию по формуле Тейлора в окрестности точки то, сделав замену мы получим функцию которую необходимо разложить по формуле Маклорена.

Пример 17. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки функцию до

Пусть тогда и

Пример 18. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки функцию до

Пусть

тогда

откуда следует:

Пример 19. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки до функцию

Обозначим тогда

и

Используя разложение 5, получим:

, откуда

Если известно разложение по формуле Тейлора в окрестности точки до производной функции

где то существует и функцию можно представить в виде:

где Но поэтому Следовательно,

,

- коэффициенты разложения по формуле Тейлора для функции

Пример 20. Разложить по формуле Маклорена до функций: 1) 2)

3)

1) и используя разложение 5, получим:

Согласно формуле будем иметь:

2) (легко получить с использованием формулы для геометрической прогрессии). Тогда по формуле можно записать:

3)

откуда по формуле находим:

Пример 21. Разложить по формуле Маклорена до функцию Число выбрать наибольшим.

Рассмотрим функцию

Найдём её производные. При

При по определению производной находим:

Таким образом, первая производная существует при всех причём Аналогично для второй производной получаем:

т.е. вторая производная существует при всех и равна Для третьей производной имеем:

Следовательно, Так как функция не дифференцируема в точке то рассматриваемая функция не имеет в точке четвёртой производной (и производных порядка выше четвёртого), а обладает в этой точке производными до третьего порядка включительно. Поэтому разложение по формуле Маклорена до при выглядит следующим образом:

а разложение по формуле Маклорена до не существует. Итак,

Возвращаясь к функции и используя разложение 2 для будем иметь:

поэтому

так как

Пример 22. Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность приближённой формулы:

По формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:

где

Пример 23. Написать многочлен Тейлора порядка и оценить разность этого многочлена и функции на указанном отрезке, принимая в качестве середину этого отрезка: на

По условию Находим производные функции:

Многочлен Тейлора 4-го порядка функции для имеет вид:

Оценим величину остаточного члена, записанного в форме Лагранжа:

так как

на

Отметим, что отношения эквивалентности не всегда позволяют выделить главную часть функции при В этом случае одним из методов выделения главной части является разложение функции по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Пример 24. Найти главную часть функции при

Разложение функции по формуле Тейлора содержит лишь нечётные степени поэтому для функции будем записывать разложение до 1-го, 3-го, 5-го и т.д. порядков включительно, используя при этом известное разложение 4:

Тогда

Итак, степенная функция есть главная часть данной функции при

Пример 25. Определить главный член вида при , если

В примере 15 получено: Будем использовать также разложение 2. Данная функция нечётна, поэтому в её разложении по формуле Маклорена будут присутствовать лишь нечётные степени Запишем последовательно многочлены Тейлора функции в нулевой точке увеличивающегося порядка, пока не получим многочлен, отличный от нуля.

Для первого порядка:

Для третьего порядка:

Для пятого порядка:

Для седьмого порядка:

Итак, степенная функция есть главная часть функции при

Метод выделения главной части с помощью формулы Тейлора может быть использован и при нахождении пределов.

Пример 26. Найти

Так как то числитель дроби следует разложить до Используя разложения 3, 5 и пример 20, получим:

Тогда

Пример 27. Найти

Так как то будем использовать разложения 1 и 4:

Тогда

Пример 28. Найти

Будем использовать разложения 2 и 3:

следовательно, и числитель необходимо разложить до

Тогда

Пример 29. Найти

Для представления знаменателя используем разложения 2, 4, 5:

Разложение числителя осуществим до С использованием примеров 10, 15, 20 получим:

Тогда

Пример 30. Найти

Так как то

Тогда

Пример 31. Найти

Используем пример 20 (3) и разложение 2:

Тогда

Пример 32. Найти

Так как

то

Таким образом,

Пример 33. Найти

Преобразуем разность и воспользуемся примером 20:

откуда следует, что

Пример 34. Найти

Так как

то

следовательно,

Дата добавления: 2015-05-31