Формулировка нулевой гипотезы

Рассмотрим простую функцию спроса

,

где в – величина спроса, скажем, на продукты питания, а х – доход.

исходя из полностью умных теоретических оснований, вы допускаете, что спрос на продукты питания зависит от дохода, но ваша гипотеза недостаточно «сильная», чтобы можно было определить конкретное значение . Однако вы можете установить наличие зависимости величины и х, используя для этого обратную процедуру, когда как гипотеза, которую вы собираетесь проверить (нулевая гипотеза), но принимается утверждение о том, что величина в не зависит от х, то есть что =0.

Дальше мы определяем альтернативную гипотезу, которая отражается или, которая заключается в том, что величина в зависит от значения величины х, то есть .

Если можно отбросить нулевую гипотезу, вы таким образом устанавливаете наличие зависимости, по крайней мере в общих чертах.

Нулевая и альтернативная гипотеза примут вид

и

(Аналогично для )

В общем случае если проверяется утверждение что ровное некоторому конкретному числу . Вы можете сделать попытку отклонить или опровергнуть нулевую гипотезу в зависимости от того, что вас необходимо в данном случае: .

Если гипотеза верна, то оценки, полученные в ходе регрессионного анализа, будут иметь распределение с математическим ожиданием и дисперсией .

Если принимается допущение, что остаточный член u имеет нормальное распределение, то величина также будет иметь нормальное распределение.

Функция плотности вероятности для .

Учитывая структуру нормального распределения, большинство оценок параметров будут находится в пределах двух стандартных отклонений от (если верная гипотеза ).

Сначала допустимо, что знаем значение стандартного отклонения - теоретически (хотя это допущение неправдоподобно).

Допустимо, что некоторым чином мы знаем, что стандартное отклонение величины составляет в нашем примере 0,1.

Выберем как нулевую гипотезу, что, то есть .

Если эта гипотеза верна, то оценки коэффициентов регрессии будут распределены так, как это показано на рисунке.

Из рисунка видно, что при справедливости нулевой гипотезы оценки будут находиться приблизительно между 0,8 и 1,2.

Допустимо, что мы взяли фактическую выборку из наблюдений Х, В и построили оценку, используя для этого регрессионный анализ.

Если оценка близка до 1,0, мы должны быть полностью довольные нулевой гипотезой, поскольку она и результат оценивания для выборки совместимые друг с другом.

Если же оценка значительно отличается от 1,0, допустимо, что она равна 0,7, что составит три стандартных отклонения вниз от 1,0, то достоверность того, что отличие от среднего достигнет трех стандартных отклонений в позитивную или негативную сторону, составляет лишь 0,0027 (правило «3-х сигм), то есть очень ряд.

Такой результат может привести до двух выводов:

1. Нулевая гипотеза верна и что эксперимент дал случайный результат. Такая ситуация может возникнуть в 0,27% случаев, и вы допускаете, что это именно тот случай.

2. Гипотеза противоречит результата оценивания регрессии. Поскольку достоверность очень имела р=0,0027, вы понимаете, что наиболее правдоподобным объяснением является то, что величина совсем не равняется 1,0. Другими словами вы принимаете альтернативную гипотезу

Как определить который необходимо сделать вывод 1 или 2-й? Насколько малой должна быть достоверность построения подобной регрессии для выбора второго вывода? Определенного ответа на этот вопрос нет.

В большинстве работ по экономике за критический уровень берется 5 ил 1%. Если выбирается уровень 5% то переключение на второй вывод происходит в том случае, когда при истинности нулевой гипотезы достоверность приобретения такого экстремального значения составляет 5%.

В этом случае говорят, что нулевая гипотеза должна быть пренебреженная при 5-процентном уровне значимости.

Это происходит в том случае, когда величина отстоит от более чем на 1,96 стандартного отклонения.

Посмотрев в таблицу нормального распределения можно увидеть, что достоверность того, которое будет превосходить среднее значение на более чем, составляет 2,5% и, аналогично, достоверность того, что эта величина будет более чем на ниже среднего значения, также будет 2,5%. Общая достоверность того, что данная величина отстоит от математического ожидания более чем на 1,96 ст. откл., составляет 5%.

Математически нулевая гипотеза отбрасывается если

или

где z – число стандартных отклонений между регрессионной оценкой и гипотетическим значением .

Нулевая гипотеза не будет пренебрежена, если –1,96<z<1,96

то есть

или

- множество значений для величины, которая приводят к отказу от конкретной нулевой гипотезы.

Это множество значений получило название области гипотезы для при 5% уровня значимости.

Аналогично, нулевая гипотеза должна быть пренебреженная при уровне значимости в 1% если или .

Из таблицы нормального распределения, можно видеть, что величина окажется ниже своего математического ожидания на более чем .

Общая достоверность приобретения таких экстремальных значений составляет 1%.

Почему исследователи обычно представляют свои результаты при уровнях значимости 5 и 1%? причина в том, что обычно делается попытка найти баланс между риском допущения ошибок I и II роду.

Ошибка I рода имеет место в том случае, когда вы отбрасываете действительную нулевую гипотезу. Ошибка II рода возникает, когда вы не отбрасываете ошибочную гипотезу.

Дилема заключается в том, что если вы будете настаивать на более высоком 1% уровни значимости, то столкнетесь из относительно высоким риском допущения ошибки II рода, когда гипотеза окажется ошибочной. Если вы выбираете низкий уровень значимости, то оказываетесь перед относительно высоким риском допущения ошибки I рода, если гипотеза истинна.

До сих пор мы считали, что стандартное отклонение величины известно. Но на практике это допущение нереально.

Это приводит до двух изменений процедуры проверки гипотез.

1. Величина Z определяется на основе использования стандартной ошибки вместо стандартного отклонения и носит название t-статистики: .

2. Критические уровни t определяются величиной, которая имеет так называемый t-распределение (распределение Стьюдента) вместо нормального распределения.

Это распределение родственно нормальному, его точная форма зависит от числа степеней свободы в регрессии и оно все лучше апроксимируется по мере увеличения степеней свободы.

Оценивание каждого параметра в уравнении регресс поглощает одну степень свободы в выборке. Откуда

Критическое значение tкр, заменит число 1,96. Таким образом условие того, что оценка регрессии не должна приводить к отказу нулевой гипотезы, будет следующим

.

Дата добавления: 2015-05-26