Основные оптические формулы. Построение изображения

На рис. 3.4.1 даны кардинальные точки – главные точки ; фокусы - оптической системы. Требуется построить изображение предмета .

Для нахождения изображения точки проследим ход двух лучей. Один луч направим параллельно оптической оси (), сопряженный луч пройдет через задний фокус системы и через точку . Второй луч проведем через передний фокус системы. Сопряженный луч в пространстве изображений идет параллельно оптической оси. Построенные в пространстве изображений лучи и пересекаются в точке , которая и является изображением точки .

Пользуясь подобием одинаково заштрихованных треугольников и и , найдем:

, .

Это две расчетные формулы для линейного увеличения. Приравнивая правые части формул, получим формулу, известную под названием - формула Ньютона:

Введем отрезки и . По рисунку видим:

,

Подставляя в формулу Ньютона, получим:

;

Деля на , найдем формулу отрезков:

,

при (система находится в однородной среде):

.

Из фомул:

; ; (формула Ньютона)

имеем:

Из формулы Ньютона:

Таким образом

Это выражение позволяет получить формулу для линейного увеличения через отрезки s и s’

;

При формула приобретает простой вид

Рассмотрим графическое построение изображения. При построении изображения мы исходим из свойств лучей, проходящих через кардинальные точки системы. Проследив ход двух лучей, исходящих из какой-либо точки предмета, и прошедших через оптическую систему, мы находим их точку пересечения в пространстве изображений, которая и будет искомым изображением точки предмета. Следует иметь в виду, что пространство предметов не обязательно находится слева от системы, а пространство изображений – справа: они могут находиться с любой стороны.

;

;

По формуле Ньютона:

;

Тогда

и

Обозначив линейное увеличение в точках через , а в точках через , можно записать:

В случае, когда точка неограниченно приближается к точке , то и . В пределе, когда точка совпадает с точкой , продольное увеличение переходит в продольное увеличение в точках, обозначаемое через ,

Если , то .

Мы знаем, что угловое увеличение (рис. 3.4.4).

;

Тогда

Но

;

Тогда ;

,

то есть линейное увеличение равно произведению углового увеличения на продольное.

Инвариант Аббе

Пусть две среды с показателями преломления и разделены преломляющей поверхностью с радиусом кривизны (рис. 3.5.1).

По закону преломления:

При малых углах и можно записать:

Проведем произвольный луч . Так как углы и малы, то будет мала величина . Пренебрегая отрезком , можно записать из треугольников :

; ; .

Из треугольника , - внешний угол,

;

Из треугольника , - внешний угол,

;

Подставляя в уравнение закона преломления, получаем:

или

Сокращая на , получаем инвариант Аббе:

Из формулы Аббе следует, что положение точки зависит только от положения точки и не зависит от углов, образованных лучом с осью. То есть, всякий луч, проходящий через точку непременно пройдет через точку .

Однако эта формула справедлива только для параксиальных лучей, идущих бесконечно близко к оптической оси. Для лучей образующих конечные углы с оптической осью, так называемых действительных лучей, мы не можем делать замену закона преломления, которая осуществлена нами в начале параграфа. Следовательно, положение точки будет зависеть от угла и гомоцентрический пучок лучей исходящий из точки перестает быть гомоцентрическим при сходе в точке . Изображение точки становится размытым.

Формула Аббе позволяет найти фокусные расстояния одной преломляющей поверхности. Для этого примем, что луч идет из бесконечности, то есть , тогда :

; ;

И наоборот , тогда .

; ;

Определим отношение фокусных расстояний

При : .

Из рис. 3.5.2 видно

; .

Также:

; .

Подставляя эти формулы в закон преломления для малых углов, получим:

; ;

Это так называемая формула или инвариант Лагранжа-Гельмгольца.

Дата добавления: 2015-06-04