Методологическое вступление. «Надо, чтобы такие слова, как точка, прямая, плоскость, во всех предложениях геометрии можно было заменить

«Надо, чтобы такие слова, как точка, прямая, плоскость, во всех предложениях геометрии можно было заменить, например, сло­вами стол, стул, пивная кружка» ¹);

— о грамматике — наборе правил, позволяющих связывать эти слова
или символы в правильно построенные предложения (в логике и
математике обычно говорят о правильно построенных формулах);

— об аксиоматике — наборе не требующих доказательств само­
очевидных истин;

— - об энциклопедии — наборе предложений, истинных на основе внелогических (прежде всего, эмпирических) оснований²;

— наконец, о способах доказательства — о правилах преобразова­
ния предложений, позволяющих из принятых за истину предло­
жений выводить другие истинные, правильно построенные пред­
ложения.

Выбор всех этих слов, правил и аксиом сам по себе с логической точки зрения произволен (ссылка на очевидность ничего не решает). Он не может быть доказан (в том числе и потому, что непонятно, как доказывать то, что и так очевидно). Е. Вигнер удачно определил мате­матику как «науку о хитроумных операциях, производимых по специ­ально разработанным правилам над специально придуманными поня­тиями»³. Единственное требование, которое ограничивает произвол, — система должна быть непротиворечивой: в ней не должно быть ни са­мопротиворечивых аксиом, ни противоречий между аксиомами. Логи­ко-математические науки, прежде всего, претендуют именно на фор­мальную правильность и непротиворечивость своих рассуждений, а не на их истинность (если истину понимать как соответствие действитель­ности). Так, если принять, что все рыбы — красные и что все игроки в домино — рыбы, то можно сделать формально безупречный вывод, ра­зумеется, не претендующий на истинность как на соответствие дей­ствительности: игроки в домино — красные.

Кстати, естественные науки включают в себя логику, и именно поэтому вынуждены иметь дело с исходно неопределяемыми (а потому [окончание cтраницы 45]

______________________________

¹Цит. по Вейль Г. Математическое мышление. М., 1989, с. 237

²Я надеюсь, что позволил себе не слишком вольную трактовку позиции, восхо­
дящей к Д. Гильберту. Введение эмпирических истин в логическую систему опирается
на признание многих математиков, считающих, что «есть по крайней мере два различ­
ных сорта истинных научных предложений: с одной стороны, эмпирические истины и,
с другой - математические и логические» — см. Френкель А., Бар-Хиллел И. Основа­
ния теории множеств. М., 1966, с. 198.

³ Вигнер Е. Этюды о симметрии. М., 1971, с. 183-184.

Раздел первый

необъяснимыми) терминами. К. Хюбнер говорит о «свободе выбора ап­риорных установлений» в естественной науке¹. А. Шопенгауэр в этой необъяснимости исходных терминов и аксиом видит бессилье естествен­ных наук, тогда как такое положение дел — неизбежное следствие при­менения логики. Вот как рассуждал Шопенгауэр: естественная наука (этиология, в его терминологии) раскрывает закономерный порядок, ука­зывает явлениям их место во времени и пространстве, однако о внут­реннем существе какого-либо из этих явлений мы не получаем ни ма­лейшего знания. Это существо именуется силой природы и лежит вне сферы естественнонаучного (этиологического) объяснения. После всех её объяснений эти явления остаются нам совершенно чужды, их смысл непонятен. «Механика, — пишет Шопенгауэр, — с самого начала пред­полагает как необъяснимое материю, тяжесть, непроницаемость, пере­дачу движения толчком, косность и т. д.»².

Но всё дело в том, что логика определяет только правила игры с символами. Она не может претендовать ни на что большее. Эти прави­ ла должны быть однозначными и удобными для тех, кто в эту игру с символами играет. Разумеется, есть правила, которые удобны почти все­гда. Например, такое: если a < b, а Ь < с, то a < с. Однако и такое обыч­ но разумное правило отнюдь не всегда верно. Не очень целесообразно его применение к качественным оценкам (если, например, знак «<» означает «менее красив» или «менее загадочен»), к величинам, изменя­ющимся во времени, и т. д. Так, какое бы ни было эмоциональное отно­шение а к Ь и Ь к с, вряд ли что-либо строго однозначное можно сказать об отношении а к с. Поэтому, вообще говоря, логическая система тре­бует какой-либо интерпретации, в рамках которой и используются тер­мины. Интерпретация приписывает этой системе некий смысл, выходя­щий за рамки самой системы. Интерпретация может быть эмпиричес­кой — тогда система связывается хоть с каким-либо представлением о реальности. Например, арифметика связывается со способами перечис­ления, а геометрия — с измерением на поверхности Земли. Интерпре­тация может быть также логической или математической — тогда одна логическая система интерпретируется в терминах другой — например, геометрия интерпретируется в алгебраических терминах.

Требование непротиворечивости недостаточно для построения ло­гической системы. Ведь даже для доказательства непротиворечивости необходим какой-то набор слов и аксиом. Любое доказательство, в том [окончание cтраницы 46]

______________________________

'Хюбнер К. Критика научного разума. М., 1994, с. 55.

²Шопенгауэр А. Мир как воля и представление. Минск, 1998, с. 223-225.

Дата добавления: 2015-06-04