КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Методологическое вступление. числе доказательство непротиворечивости, предполагает какой-то способ доказывания, а значит, и аксиоматику
числе доказательство непротиворечивости, предполагает какой-то способ доказывания, а значит, и аксиоматику. Можно ли, например, логически доказать, что непротиворечивость надо доказывать, или что противоречивой логики не может существовать? И можно ли точно определить, что такое непротиворечивость, чтобы её можно было однозначно доказать?1 Чаще всего доказательство непротиворечивости ограничивается доказательством существования интерпретации. Так, Д. Гильберт доказывает, что геометрия непротиворечива, если непротиворечива арифметика. Но является ли это реальным доказательством того, что геометрия непротиворечива, если нет логического аппарата для доказательства непротиворечивости самой арифметики?.. Из сказанного следует: логика никогда не может логически обосновать сама себя. Это первыми осознали математики, когда стали пытаться доказать кажущиеся не слишком очевидными аксиомы (типа пятого постулата Эвклида) и пришли к глубокому кризису оснований своей науки. Великий английский математик и философ Б. Рассел образно описал свое состояние в процессе понимания причин кризиса: «Я жаждал определенности (т. е. логической обоснованности— В. А) примерно так же, как иные жаждут обрести религиозную веру. Я полагал, что найти определенность более вероятно в математике, чем где-нибудь еще. Выяснилось, однако, что если определенность и кроется в математике, то заведомо в какой-нибудь новой области, которую можно обосновать более надежно, чем традиционные области с их истинами, только кажущимися незыблемыми. В процессе работы у меня из голо вы не выходила басня о слоне и черепахе: воздвигнув слона, на котором мог бы покоиться математический мир, я обнаружил, что этот слон шатается, — тогда мне пришлось создать черепаху, которая не давала бы слону упасть. Но и черепаха оказалась ничуть не более надежной, чем слон, — и через каких-нибудь двадцать лет напряженных усилий и поисков я пришел к выводу, что не смогу сделать ничего более, дабы придать математическому знанию неоспоримый характер... Математика (а по существу и логика— В. А.) — такой предмет, в котором мы никог да не знаем ни того, о чем мы говорим, ни насколько верно то, что мы [окончание cтраницы 47] ___________________________ 1 Например, блестящий логик и глубокий мистик П. А. Флоренский вообще отвергает традиционный взгляд на непротиворечивость. Он допускает как непротиворечивое такое построение: из q следует г, а при условии р из q следует «не г» — см. Флоренский П. А. Столп и утверждение истины, 1 (2). М., 1990, с. 500-505. Поясняющий пример Флоренского: небо (q) — голубое (г); однако на закате (р) небо (q) красное (т. е. «не г»). Возмо жен такой взгляд на непротиворечивость? Ответ зависит от нашего выбора. Логики назвали такие понимание паранепротиворечивостью. Раздел первый говорим»1. В другой работе Рассел добавляет: «Пока мы остаёмся в области математических формул, всё кажется определённым, но когда мы стараемся интерпретировать их, оказывается, что эта определённость в какой-то степени иллюзорна»2. Позднее, к тому же, выяснилось, что при таком подходе в достаточно богатых логических системах (хотя бы включающих в себя арифметику) нельзя построить полный набор аксиом (теорема Гёделя о неполноте). Иначе говоря, существуют такие правильно построенные предложения, которые с таким же успехом можно принять за аксиомы, как и их отрицания, — они несводимы к имеющимся аксиомам, а значит, нельзя доказать их истинность; их также нельзя привести к противоречию с аксиомами и тем самым доказать ложность этих предложений. Более того, нельзя определить полный набор всех истинных предложений, выводимых из данного набора аксиом (теорема Левенгейма-Ско-лема), нельзя создать процедуру, позволяющую заранее определить, можно ли в принципе доказать истинность или ложность данного предложения... Но если в логике эти трудности неизбежны, то тем острее они в менее формализованных естественных языках. Потому так грустен М. Полани, который признается, что мы никогда не сможем ни высказать всё, что знаем, ни узнать всего того, что сказали 3. В общем, если слишком сильно об этом задумываться, то возникает опасность для нормальной психики удариться «о космическое дно» (а ведь, как говаривал Станислав Ежи Лец, очутившись на дне, можно услышать стук снизу). Следует также учесть, что рационалистические построения слишком чувствительны к ошибкам и к изменениям исходных допущений (аксиом). Если в рассуждениях какого-нибудь логика или математика встречается ошибка (т. е. появляется противоречие), то, строго говоря, выводы уже можно не читать - они заведомо ошибочны. В истории культуры различные математические и логические системы потому и сосуществуют друг с другом, что все они формально правильны. Поэтому, например, неэвклидовы и псевдоевклидовы геометрии не отвергли геометрию Эвклида, поскольку все эти разные геометрии опираются на разные исходные предпосылки. Нам остаётся лишь выбирать ту, которая в данный момент устраивает нас больше. Человечество всегда стремилось и будет стремиться к недостижимой логической ясности. И будет периодически верить обещаниям [окончание cтраницы 48] _________________________ 1 Цит. по кн. Клайн М. Математика. Утрата определенности. М, 1984, с. 266-267. 2Рассел Б. Человеческое познание. Его сфера и границы. Киев, 1997, с. 259. 3 Полани М. Личностное знание. М., 1985, с. 140.
Дата добавления: 2015-06-04; Просмотров: 387; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |