Равновесие системы твердых тел

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Для представленных на схемах 1—30 составных конструкций найти реакции опор. Размеры указаны в метрах. Весом элементов конструкций пренебречь.

ЗАДАЧА 1

Конструкция состоит из двух невесомых балок, шарнирно соединенных в точке С (рис. 17). Балка АС опирается в точке В на шарнирно-неподвижную опору и удерживается на левом конце опорным стержнем. Балка СD опирается правым концом на абсолютно гладкую плоскость, составляющую угол α = 60º с горизонтом. На систему действует пара сил с моментом М = 20 кН∙м и равномерно распределенная нагрузка с интенсивностью q = 2 кН/м. Определить реакции опор и усилие, передаваемое через шарнир. Геометрические размеры даны в метрах.

Решение. Если рассмотреть равновесие всей конструкции в целом, освободиться от связей и ввести реакции, учитывая, что реакция прямолинейного опорного стержня направлена по стержню, реакция шарнирно-неподвижной опоры имеет неизвестное направление и ее следует разложить на составляющие по осям, а реакция при опоре тела на абсолютно гладкую плоскость перпендикулярна этой плоскости (нормальная реакция), то расчетная схема будет иметь вид, показанный на рис. 18.

Здесь распределенная нагрузка заменена сосредоточенной силой

Q = q•6 = 12 кН

Система сил на схеме имеет четыре неизвестных, следовательно, они не могут быть определены из трех уравнений для плоской системы сил.

Для решения задачи расчленим конструкцию на отдельные тела, мысленно разделив ее по шарниру, через который передается усилие неизвестного направления (рис.19).

При направлении составляющих Х_С и Y_С для левой и правой балок учтен принцип (закон) равенства действия и противодействия. Введенные силы:

Для правой части составляем три уравнения равновесия: Σ F_К =0 на декартовы оси х и у и Σ М_D(F_K)=0 относительно точки D:

Для левой части составляем три уравнения равновесия: Σ F_К =0 на декартовы оси х и у и Σ М_B(F_K)=0 относительно точки B:

Для проверки правильности полученного решения можно составить уравнение равновесия для всей конструкции (рис. 18), например:

Расчет произведен верно.

ЗАДАЧА 2

Конструкция состоит из двух тел, соединенных шарнирно в точке С. Тело АС закреплено с помощью заделки, тело ВС имеет шарнирно-подвижную (скользящую) опору (рис. 20). На тела системы действуют распределенная по линейному закону сила с максимальной интенсивностью q_max = 2 кН/м, сила F = 4 кН под углом α = 30° и пара сил с моментом М = З кН∙м. Геометрические размеры указаны в метрах. Определить реакции опор и усилие, передаваемое через шарнир. Вес элементов конструкции не учитывать.

Решение. Если рассмотреть равновесие всей конструкции в целом, учитывая, что реакция заделки состоит из силы неизвестного направления и пары, а реакция скользящей опоры перпендикулярна опорной поверхности, то расчетная схема будет иметь вид, представленный на рис. 21.

Здесь равнодействующая распределенной нагрузки

расположена на расстоянии двух метров (1/3 длины АD ) от точки А; М_А - неизвестный момент заделки.

В данной системе сил четыре неизвестных реакции (Х _A, У_A, М_A, R_В ), и их нельзя определить из трех уравнений плоской системы сил.

Поэтому расчленим систему на отдельные тела по шарниру (рис. 22).

Силу, приложенную к шарниру, следует при этом учитывать лишь на одном теле (любом из них).

Для правой части составляем три уравнения равновесия: Σ F_К =0 на декартовы оси х и у и Σ М_С(F_K)=0 относительно точки С:

Отсюда Х_C = -1 кН; Y_C = 0; R_B = 1 кН.

Для левой части составляем три уравнения равновесия: Σ F_К =0 на декартовы оси х и у и Σ М_А(F_K)=0 относительно точки А:

Здесь при вычислении момента силы F относительно точки А использована теорема Вариньона: сила F разложена на cоставляющие Fcos α и Fsin α и определена сумма их моментов.

Из последней системы уравнений находим:

Х_A = -1,54 кН; Y_A = 2 кH; М_A = -10,8 кH∙м.

Для проверки полученного решения можно составить суммы проекций и моментов сил для всей конструкции (рис. 21), например:

Решение выполнено верно. То обстоятельство, что сумма моментов оказалась равна нулю приблизительно, определено погрешностью вычислений. В данном случае погрешность оказалась равной

Дата добавления: 2015-06-04