Розрахунок зусиль в стержнях методом вирізання вузлів

Розглядаємо ферму, на яку діють зовнішні навантаження , , , , та як показан на рис 4.12. Розрахунок зусиль в стержнях починаємо із того вузла, де сходяться тільки два стержні. Вузли нумеруємо так, як зображено на рис 4.12. Сили і реакції стержнів, що прикладені до вузла, утворюють збіжну плоску систему сил. Така система сил перебуває в рівновазі, якщо виконуються умови

, .

При складанні рівнянь рівноваги вузлів кожен із них зображаємо окремо разом із зусиллями, що замінюють стержні. Розрахунок починаємо із вузла I, для якого складаємо рівняння рівноваги.

Рисунок 4.13

Рисунок 4.14

Вузол I

Звідки одержуємо

Вузол II

Вузол III

		y

`S₁₀

Вузол IV

			`S6

Вузол V

y

x

g

Вузол VI

y

x

g

g

Вузол VIIІ

		y

`S₄

x

Формулами (4.5-4.17) отримано зусилля для всіх стержнів ферми. Підставляючи в ці формули величини , та , знаходимо значення зусиль S₁…S₁₃ (кН) при a= 30°;

S₁=31,57; S₂=16,2; S₃=8,2; S₄=8,2; S₅=-4,24;

S₆=-11; S₇=16,2; S₈=16,2; S₄=0; S₁₀=-13,57;

S₁₁=-8; S₁₂=11,31; S₁₃=5.

На останньому вузлі VII виконуємо перевірку. Складаємо для нього рівняння рівноваги:

Вузол VII

Підставляючи в ці рівняння знайдені зусилля, переконуємося в тому, що S₃ і S₁₃ отримані вірно.

4.1.4 Розрахунок зусиль в стержнях ферми методом наскрізних розрізів (Ріттера)

Розглянемо ферму, зображену на рис. 4.12. Проведемо розріз через стержні 2, 10 та 7. Покажемо ліву частину ферми від такого розрізу на рис.4.15.

Рисунок 4.15

Реакції розрізаних стержнів 2. 10, 7 направляємо за стержнями. Сили Р₁, X_A, Y_A – відомі, а S₂, S₁₀ та S₁ вважаємо невідомими. Для того, щоб їх знайти, потрібно скласти три рівняння різноваги для плоскої довільної системи сил. Задача спрощується, якщо необхідно знайти тільки одне зусилля S₂. Для цього складаємо рівняння моментів відносно точки О₂. Така точка називається точкою Ріттера, вона виключає з рівнянь рівноваги невідомі зусилля S₁₀ та S₇.

S M_O2() = - Y_A×(a₁ + b₁) - P₁×h₁ – S₂×h₁ = 0,

звідки

S₂ = -(-Y_A(a₁+b₁) – P₁×h₁)/h₁ = + (9,6×6 + 9)/3 = 16,2 kH.

Для знаходження зусилля S₇ точкою Ріттера буде точка О₇ – точка, де перетинаються зусилля S₂, S₁₀ та сила P₁. Щоб знайти зусилля S₁₀, необхідно скласти таке рівняння, в якому не містилися б зусилля S₂ та S₇. Оскільки S₂ та S₇ паралельні, то раціонально скласти рівняння проекцій на вісь ОY. Виходячи із таких міркувань, складаємо рівняння рівноваги:

S M_Q7 () = - Y_A×a₁ + X_A×h₁ + S₇×h₁ = 0;

S Y_i = Y_A – S₁₀×sing = 0;

звідки маємо:

S₇ = (Y_A×a₁ - X_A×h₁)/h₁ = (-9,6×3 + 25,79×3)/3 = 16,2 kH;

S₁₀ = Y_A/sing = -9,6/( /2) = -13,58 kH.

Зусилля в стержнях 6 та 12 можна знайти за допомогою перерізу, проведеного через стержні 3, 12 та 6 (рис. 4.12). розглянемо праву від перерізу частину ферми і покажемо її на рис. 4.16.

Рисунок 4.16

Для знаходження зусиль S₃, S₆ і S₁₂ отримуємо такі рівняння рівноваги сил:

S M_О6 () = - P₂×b₂ – P₃×sina×(b₂ + a₂) – S₆×h₁ =0;

S M_О3() = S₃×h₁ – P₃×cosa×h₁ – P₃×sina×a₂ =0;

S Y_i = S₁₂×sing - P₂ – P₃ sina = 0;

звідки маємо:

S₆ = -(P₂×b₂ + P₃ sina(b₂ + a₂))/h₁ = - (5×3+6×0,5×6)/3=-11 kH;

S₃ = (P₃×h₁×cosa + P₃×sina×a₂)/h₁ = (6×3×0,866+6×0,5×3)/3 = 8,1 kH;

S₁₂ = (P₂ + P₃×sina)/sing = (5+6×0,5)/0,707 = 11,31 kH.

4.1.5 Знаходження зусиль в стержнях ферми графічним методом (побудова діаграми Максвелла – Кремони)

Перед побудовою діаграми Максвелла - Кремони необхідно провести таку підготовку:

а) виконуємо рисунок ферми відповідно до її геометричних розмірів (рис.4.17)

б)показуємо вектори заданих сил , , і знайдених реакцій і ;

в) позначаємо області між зовнішніми силами: Q, B, V, D, F;

г) позначаємо внутрішні області: К, L, M, N, O, T;

д) позначаємо вузли римськими цифрами: І-VIII;

є) вибираємо обхід зовнішніх сил і вузлів (на рис. 4.17 показано його напрям за годинниковою стрілкою);

ж) вказуємо масштаб сил (в даному випадку в 1 см - 2 кН).

Будуємо діаграму Максвелла - Кремони (рис. 4.18). Креслимо мно­гокутник зовнішніх сил відповідно до вибраного обходу. Цей многокут­ник позначаємо відповідними великими буквами. Між зовнішими силами ферми знаходяться області Q, B, V, D, F і Q. Одержуємо многокут­ник зовнішніх сил qbvfdq на діаграмі.

Побудову зусиль в стержнях ферми починаємо із вузла, де схо­дяться два стержні. Такими вузлами на рис. 4.17 можуть бути вузли І,VIII. Розглядаємо вузол І.

При обході вузла І у вибраному напрямку зустрічаються області Q, K, F і Q. На діаграмі побудований відрізок qf. Через точку q (рис. 4.18) проводимо пряму, паралельну стержню І, а через точку f - пряму, паралельну стержню 8. На перетині цих двох прямих одержуємо точку r. Многокут­ник qkfq - многокутник сил, прикладених до вузла І. Стержню І відповідає зусилля qk, а стержню 8 - зусилля kf.

При обході вузла II зустрічаються області F, K, L i F. На діаграмі знаходимо відрізок fk, через точку k проводимо пряму, паралельну стержню 9, а через точку f -пряму, паралельну стержню 7. Їх точка перетину l відповідає області L та збі­гається з точкою k. Многокутник сил

для вузла II - фігура fklf, що показана на діаграмі відрізком kf. Оскільки точки k і l збігаються, то зусилля kl = 0, тоді стержень 9 - нульовий.

Переходимо до вузла III. Сили, що діють на цей вузол, розмежо­вують

області L,K,Q,B,M i L. Після побудови зусиль вузлів І та ІІ зусилля lk, kq та qb відомі. Тоді через точку проводимо пряму, паралельну стержню 2, а через точку l – пряму, паралельну стержню 10. Їх перетин дає точку m, що відповідає об­ласті М. Многокутник сил для вузла ІІІ – lkqbml.

Аналогічними побудовами знаходимо многокутники сил для вузлів, що залишились в такій послідовності: ІV, VІІ, VI. Це многокутники: для вузла ІV – dflmnd, для вузла VIII – dtvd, для вузла VI – bvtob. Залишились два останні вузли V та VІІ.

Для одержання многокутників сил у вузлах V та VІІ достатньо з’єднати точки о і (рис.4.18). Якщо відрізок on буде пара­лельним стержню І2, то діаграма побудована правильно. Одержуємо си­лові многокутники: nmbon – для вузла V і notdn – для вузла VІІІ. Побудова діаграми закінчена.

Отримана діаграма Максвелла - Кремони (рис.4.18) дає змогу відшукати значення зусилля в будь-якому стержні ферми, а також його знак. Модуль вимірюється довжиною відрізка і переводом її через мас­штаб в одиниці сили, а знак – напрямком відрізків на діаграмі.

Приклад. Розглянемо стержень під номером 11 (див. рис. 4.17). Зусилля цього стержня при обході вузла ІV називається . Знахо­димо на діаграмі (див. рис. 18) напрямлений відрізок , уявно переносимо напрям з рис. 4.18 на рис.4.17 до вузла ІV. Вектор напрямлений до вузла IV. Якщо зусилля спрямоване до вузла, то стер­жень під його дією стискується. Тоді стержень 11 стиснутий і знак зусилля від’ємний. Якщо зусилля для будь-якого іншого стержня спрямоване від вузла, то такий стержень розтягнений і його зусилля додатне. Із діаграми на рис. 4.18 маємо, кН:

S₁ = qk = 13,4; S₂ = bm =16,1; S₃ = ob = 8;

S₄ = vt = 8; S₅ = dt = -4; S₆ = dn = 10,8;

S₇ = fl = 16; S₈ = kf = 16; S₉ = kl =0;

S₁₀ = ml = -13,6; S₁₁ = nm = -7,8; S₁₂ = on = 11,2.

Остаточна перевірка виконується при порівнянні зусиль в стержнях, знайдених двома методами: вирізання вузлів і діаграми Максвелла – Кремони. Абсолютна похибка становить в кН: D₁ = D₁₀ = 0,03, D₂ = 0,1; D₄ = D₆ = D₇ = D₈ = D₃ = D₁₁ =0,2; D₅ = 0,24; D₁₂ = 0,11; D₉ = D₁₃ = 0.

По найбільшій абсолютній похибці знаходимо відносну похибку обчислень:

Дата добавления: 2015-06-04