Продолжение Примера 3

Разрывы обобщённых функций ведут к дельта функциям в производных.

Пример 3 Найти производную обобщённой функции .

Здесь мы и встречаемся с необходимостью регуляризации расходящегося интеграла.

Вставка: Регуляризация расходящегося интеграла.

Пусть f(x) – функция, локально интегрируемая всюду, кроме т. x₀, в которой имеется неинтегрируемая особенность (например, на оси). Тогда, интеграл

(40),

где - основная функция, вообще говоря, расходится. Но он сходится, если равна нулю в окрестности т. x₀. Если можно доопределить, возникающий при этом функционал, который на основные функции действует по формуле (40), то такой функционал f называется регуляризацией расходящегося интеграла (40) (или регуляризацией функции f(x)).

Так, для , можно положить:

с любыми a > 0 и b > 0.

Запишем

Как известно, полученный предел называется главным значением по Коши оси . Мы его будем обозначать . Соответствующую обобщённую функцию мы будем обозначать 1/ x, тогда . Функционал 1/ x не регулярный, но совпадает с функцией 1/ x всюду, кроме x = 0.

Пример 4. Найдём производную от логарифма комплексной функции (это также обобщённая функция): ; определяемой равенством

если , где , а , то

Тогда

Пояснение1:

Можно записать

Модуль комплексного числа

Переходим к пределу, при

причём ;

- по модулю всегда ограничено и стремится к пределу при Т.е. имеет скачок величиной .

Перепишем:

при переходя к пределу, видим, что

.

Т.к. и учитывая, что , получим . Тогда ,

поэтому

Дата добавления: 2015-06-25