Зонная теория. Контактные явления

ЗАНЯТИЕ 4.

Цели занятия:

· добиться чёткого представления об особенностях энергетической структуры проводников, диэлектриков и полупроводников с точки зрения зонной теории кристаллов;

· научиться определять число подуровней в разрешённой энергетической зоне;

· научиться определять концентрацию, суммарную и среднюю энергию электронов проводимости в металлах;

· закрепить знание о распределении Ферми – Дирака;

· добиться чёткого представления о контактной разности потенциалов на границе «металл - вакуум» и типах электронной эмиссии.

I. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что такое разрешённая энергетическая зона? Как она образуется? От чего зависит её ширина?

Ответ:

Энергетическая зона - это система дискретных энергетических подуровней электрона в кристалле, образованная при расщеплении его исходного энергетического уровня в атоме.

В изолированном атоме электроны имеют дискретный набор значений энергии W_n, где n = 1, 2, 3, … - номер энергетического уровня электрона. Такой атом с энергетической точки зрения является потенциальной ямой, в которой электрон может быть в одном из дискретных энергетических состояний. Все N одинаковых изолированных атомов, из которых образуется кристаллическая решетка, имеют одинаковые схемы энергетических уровней W_n, при этом уровни заполнены электронами независимо друг от друга и в соответствии с принципом Паули. Сближение атомов в процессе кристаллизации усиливает взаимодействие электронов и возникает перекрывание их волновых функций (обменное взаимодействие). Каждый электронный энергетический уровень уширяется в процессе образовании кристалла (рис. 1).

Ширина разрешенной энергетической зоны определяется строением кристаллической решетки и природой атомов (типом электронных облаков), но не зависит от размера кристалла.

2. Как образуются потенциальные барьеры для электронов во внутрикристаллическом поле?

Ответ:

На расстояние между узлами порядка 10^{-9 м} ядро одного атома притягивает электроны другого атома. Более существенное влияние оказывается на внешние (валентные) электроны, чем на внутренние электроны. Поэтому потенциальная энергия U валентных электронов уменьшается, по сравнению с их энергией в изолированном атоме. График зависимости U(r) внутри кристалла внутри кристалла приобретает вид «потенциального барьера», высота которого меньше для валентных электронов, а для внутренних электронов сохраняет свой вид (рис. 1).

Выше потенциального барьера (W > U) расположены энергетические уровни валентных электронов, которые без изменения своей энергии W могут свободно перемещаться по кристаллу между узлами решётки с большой скоростью u ~ 10^{5¸ 6} м/с

3. Что такое «коэффициент прозрачности потенциального барьера»?

Ответ:

Не валентные электроны имеют энергию меньше высоты потенциального барьера (W < U), но благодаря своим волновым свойствам имеют вероятность перемещения от одного узла атома к другому благодаря эффекту туннельного перехода. Вероятность туннельного перехода электронных волн де Бройля тем выше, чем дальше электрон от ядра, и определяется коэффициентом прозрачности потенциального барьера U(x):

,

где m и W – масса и энергия электрона, движущего сквозь потенциальный барьер в направлении x, D₀ – постоянный коэффициент, близкий единице.

4. Как образуется запрещённая энергетическая зона?

Ответ:

Движение электронов в периодическом поле кристалла является средней скоростью и равна можно представить в виде волнового пакета с частотами в интервале от w до w +dw с групповой скоростью

,

где dW/dk – скорость изменения энергии в зависимости от волнового числа. Пусть в потенциальном кристаллическом поле движется только один валентный электрон в направлении, перпендикулярном стенкам потенциальных ям, созданных силами кулона.

До тех пор пока для отраженных волн не выполнятся условия Вульфа – Брэгга, падающая на стенку потенциальной ямы электронная волна проходит через кристалл, почти не отражаясь. Это означает, что электрон движется в кристалле как свободный электрон и график функции W(k) почти не отличается от параболы (для свободного электрона).

Если выполнено условие Вульфа - Брэгга

где n = 1, 2, 3,..., отраженные волны имеют различные фазы и при сложении ослабляют друг друга, кривая W(k) для электронной волны в кристалле отличается от параболы: энергия падающей волны замедляет свой рост, а энергия отраженных волн увеличивается. В результате образуется стоячая электронная волна. Эта волна описывает такое состояние электрона, при котором он с одинаковой вероятностью может двигаться как в прямом, так и в обратном направлениях. Это означает, что функция W(k) терпит разрыв в интервале от энергии от W_i,max до W_i+1,min. Все отраженные волны с энергиями в этом интервале – синфазные. Этот интервал значений энергии электрона в кристаллическом поле и называется запрещённой зоной.

5. Как определить число энергетических подуровней в разрешённой зоне?

Ответ:

В кристалле исчезает вырождение энергетического уровня. Поскольку кратность вырождения атомного энергетического уровня равна полному числу электронов на этом уровне

,

то число энергетических подуровней в каждой разрешенной зоне равно произведению числа атомов в кристалле на кратность соответствующего энергетического электронного уровня в изолированном атоме, из которого образована зона:

.

6. Как классифицируют кристаллы в зонной теории? Как в них расположены уровни Ферми?

Ответ:

Проводник – это кристалл, валентная зона которого заселена не полностью; она одновременно является зоной проводимости. Уровень Ферми расположен внутри частично заполненной валентной зоны, и квантовые переходы электронов происходят между подуровнями этой зоны (рис. 3).

Диэлектрик (изолятор) – это кристалл, валентная зона которого заполнена полностью и отделена от зоны проводимости широкой запрещенной зоной

.

В чистом диэлектрике уровень Ферми проходит внутри запрещенной зоны, разделяющей валентную зону и зону проводимости.

Полупроводник – это кристалл, валентная зона которого заполнена полностью и отделена от зоны проводимости узкой запрещенной зоной

.

Следовательно, деление на полупроводники и диэлектрики достаточно условно

7. Какова роль дефектов (в т. ч. примесей) в энергетической структуре кристаллов?

Ответ:

При вакансии положительного иона узел подобен отрицательному заряду и отталкивает электроны в ближайших узлах, увеличивая их энергию. Поэтому энергетические уровни электронов смещаются в расположенную выше запрещенную зону.

При вакансии отрицательного иона узел подобен положительному заряду и притягивает электроны из ближайших узлов, уменьшая их энергию. Поэтому энергетические уровни электронов смещаются в расположенную ниже запрещенную зону.

При наличии акцепторных примесей нём возникают д ополнительные энергетические акцепторные уровни внутри запрещённой зоны вблизи "потолка" валентной зоны. Энергия таких уровней значительно меньше, чем ширина запрещённой зоны между валентной зоной и зоной проводимости

.

Поэтому даже вследствие теплового возбуждения электроны проводимости из верхних уровней (вблизи "потолка") валентной зоны легко могут переходить на эти локальные акцепторные уровни. Поскольку освобождаются уровни в валентной зоне, то оставшиеся в этой незаполненной зоне электроны теперь могут участвовать в электрической проводимости. В результате квантового перехода электронов из валентной зоны на акцепторные уровни в ПП возникает дырочная примесная проводимость, или иначе – проводимость p-типа. Соответственно, ПП с таким типом проводимости называется дырочным полупроводником, или проводником p-типа.

При наличии донорных примесей нём возникают д ополнительные энергетические акцепторные уровни внутри запрещённой дна вблизи "дна" зоны проводимости. Их энергия значительно меньше ширина запрещённой зоны между валентной зоной и зоной проводимости

Эту энергию электроны могут получить даже при тепловом возбуждении (т. е. при отсутствии внешнего электрического поля). В результате квантового перехода электронов с донорных уровней в зону проводимости в ПП возникает электронная примесная проводимость, или иначе – проводимость n-типа. Соответственно, ПП с таким типом проводимости называется электронным полупроводником, или проводником n-типа.

8. Физический смысл энергетического уровня Ферми. От чего зависит энергия Ферми?

Ответ:

Заполнение энергетических состояний электронами определяется функцией Ферми:

,

Физический смысл величины энергии Ферми состоит в том, что:

- при абсолютном нуле (T = 0 К) все энергетические состояния (уровни) электронов с энергиями W < W_F полностью заполнены (вероятность заполнения энергетических уровней f = 1)

;

- все состояния с энергиями W > W_F - свободны (вероятность заполнения f = 0)

;

- состояние с энергией W = W_F имеет вероятность заполнения 1/2

;

При абсолютном нуле температур уровень Ферми является наибольшим из всех возможных заполненных электронами уровней. При любой другой температуре (T > 0 К) энергетические уровни, расположенные ниже уровня Ферми, заполнены более вероятно, чем уровни, расположенные выше, а сам уровень Ферми по-прежнему имеет вероятность заполнения 1/2 чем ниже уровень, тем больше вероятность, тем выше – тем меньше вероятность

Энергия Ферми зависит от концентрации (n) электронов проводимости в м

.

9. Какова особенность поверхностного слоя кристаллов с точки зрения зонной теории?

Ответ:

Электроны проводимости не могут преодолеть потенциальный барьер у поверхности металла и покинуть металл без сообщения им дополнительной энергии. Они должны совершить работу против сил притяжения (сил Кулона) со стороны положительно заряженных ионов в узлах кристаллической решетки. Вылет электронов проводимости из поверхностного слоя металла приводит к возникновению избыточного положительного заряда. Вылетевшие электроны имеют небольшую скорость, силы Кулона не дают им удалиться на небольшое расстояния (больше нескольких межатомных расстояний ~ 10^{-10 м}). Кулоновское притяжение избыточного положительного заряда может возвратить электрон обратно.

10. Как образуется двойной электрический слой на границе «металл - вакуум», и что такое контактная разность потенциалов?

Ответ:

Металл оказывается окруженным тонким слоем (облаком) электронов. Это облако и поверхностный слой избыточных положительных зарядов образуют двойной электрический слой (рис. 6).

Не вылетевшие из поверхностного слоя валентные электроны внутри металла движутся в периодическом поле кристаллической решетки. Если обозначить положительный потенциал электрона в этом поле j_кр, а потенциал вылетевшего электрона в вакууме вблизи поверхности металла через j_вак, то контактной разностью потенциалов U на границе "металл – вакуум" называется величина

.

11. Что такое «работа выхода электрона» и от чего зависит её значение?

Ответ:

Электроны проводимости, которые находятся в валентной зоне, имеют различные энергии, т.е. потенциальная энергия (W) электрона зависит от глубины (х) потенциальной ямы: чем на более глубоком энергетическом подуровне валентной зоны находится электрон, тем меньше энергия (рис. 7).

Выйти из металла легче всего тем электронам, энергия W которых близка к значению химического потенциала (или энергии Ферми W_F). Следовательно, работа выхода A_вых электрона с поверхности данного металла - это наименьшая потенциальная энергия, которую должен иметь электрон проводимости в поверхностном слое металла, чтобы преодолеть силу Кулона в двойном электрическом слое для выхода из металла в вакуум, и равная

.

Работа выхода, совершаемая в двойном электрическом слое, идет на увеличение потенциальной энергии электрона.

По порядку величины работа выхода составляет несколько электрон-вольт:

Металл	Платина Pt	Вольфрам W	Серебро Ag	Натрий Na	Цезий Cs
Aвых , эВ	6,27	4,52	4,00	2,30	1,80

Значение работы выхода зависит: 1) от строения кристалла, 2) от концентрации электронов проводимости, поскольку от концентрации зависит химический потенциал; 3) от температуры, но очень слабо, т. к. химический потенциал слабо зависит от температуры и его можно считать равным энергии Ферми; 4) от состояния поверхности кристалла: шероховатости и степени адсорбции.

Примеры:

1. Если на поверхности вольфрама адсорбированы атомы цезия, валентные электроны которого слабее связаны с его ядром, чем у вольфрама, то атомы цезия отдают атомам вольфрама свои валентные электроны и превращаются в положительные ионы. На поверхности вольфрама образуется положительно заряженный слой, притягивающий электроны из вольфрама, уменьшая их работу выхода от 4,52 эВ до 1,36 эВ.

2. Если на поверхности вольфрама адсорбированы атомы кислорода, валентные электрона которого сильнее вязаны в атоме, чем валентные электроны в вольфраме, то атомы вольфрама отдают свои электроны атомам кислорода. В результате поверхность вольфрама превращается в слой с избыточным положительным зарядом, а адсорбированный слой кислорода приобретает избыточный отрицательный заряд. Валентные электроны под действием сил Кулона втягиваются внутрь вольфрама, что приводит к увеличению работы выхода из вольфрама и затрудняет выход электронов в вакуум.

12. Электронная эмиссия и её типы.

Ответ:

Источники дополнительной энергии для вылета электрона:

- действие электромагнитного излучения (внешний фотоэффект),

- бомбардировка быстрыми электронами (вторичная электронная эмиссия),

- нагревание кристалла (термоэлектронная эмиссия),

- внесение металла во внешнее электрическое поле, т.е. в ускоряющую разность потенциалов (автоэлектронная, или холодная электронная эмиссия).

Дата добавления: 2015-06-25