Векторное произведение двух векторов

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ

КООРДИНАТАМИ

ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ, ЗАДАННЫМИ

Вычитание

ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ

1) Сложение

Рис. 1

Рис. 2

3) Умножение вектора на скаляр :

Рис. 3

Пусть даны два вектора:

, .

1) Сложение:

2) Вычитание:

3) Умножение вектора на число :

О п р е д е л е н и е 8. Скалярным произведением двух векторов и называется число, обозначаемое или , вычисляемое по формуле:

ç ç×ç ç . (2)

Физический смысл: скалярное произведение есть работа силы на пути вектора .

Свойства скалярного произведения:

где ;

Если угол между векторами и острый, то >0;

если угол тупой, то <0;

Если известны координаты векторов и , то их скалярное произведение вычисляется по формуле:

; (3)

Проекция вектора на вектор вычисляется по формуле:

; (4)

9. Если - угол между векторами и , то

. (5)

О п р е д е л е н и е 9. Векторным произведением двух векторов и называется вектор , обозначаемый , удовлетворяющий трем условиям:

¨ (то есть вектор перпендикулярен плоскости, построенной на векторах и );

¨ векторы , , в указанном порядке образуют правую тройку, то есть вектор направлен таким образом, что кратчайший поворот вектора до совпадения с вектором виден из конца вектора совершаемым против часовой стрелки;

¨ ç ç=ç ç×ç ç× , см. рис.4.

Рис. 4.

Свойства векторного произведения:

1)

2)

3) ;

4) ;

5) Векторы и коллинеарные (принадлежат параллельным прямым) тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю:

çç ;

6) Площадь параллелограмма, построенного на векторах и , численно равна длине векторного произведения этих векторов:

ç ç×ç ç× =ç ç;

7) Площадь треугольника, построенного на векторах и , равна половине длины векторного произведения этих векторов:

| ç;

8) Если известны координаты векторов и

, то их векторное произведение вычисляется по формуле:

(6)

9) Физический смысл: если вектор рассматривать как силу, приложенную к точке А, а вектор есть вектор , то вектор представляет собой момент силы относительно точки О (рис. 5).

В

j j

О А Рис. 5.

Дата добавления: 2015-06-25