Примеры с решениями

СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРЕХ ВЕКТОРОВ

О п р е д е л е н и е 10. Смешанным произведением трех векторов , и называется число, обозначаемое , равное скалярному произведению векторов и , то есть .

Свойства смешанного произведения:

1) ;

2) Абсолютная величина смешанного произведения трех векторов численно равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах (рис. 6):

ç ç.

Рис. 6

3) Объем тетраэдра (пирамиды, в основании которой лежит треугольник, рис. 7), построенного на векторах , и , численно равен:

ç ç.

Рис. 7

4) Три вектора , и компланарны (параллельны одной плоскости) тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю:

, , - компланарны =0.

5) Если известны координаты векторов

, и ,

то их смешанное произведение вычисляется по формуле:

(7)

П р и м е р 1. Даны точки

и

Найти векторы

Р е ш е н и е. Найдем векторы :

1)

Следовательно,

2)

.

Следовательно,

Найдем вектор :

Иначе это действие можно оформить так:

Аналогично:

,

откуда

Теперь найдем вектор :

Иначе это действие можно оформить так:

О т в е т: .

П р и м е р 2. Даны точки

, .

Показать, что четырехугольник ABCD является трапецией.

Р е ш е н и е. Известно, что у трапеции две противолежащие стороны параллельны (основания трапеции), а две другие – нет.

Для решения данной задачи достаточно убедиться в коллинеарности двух векторов, лежащих на противоположных сторонах четырехугольника ABCD, то есть мы должны показать, что

çç или çç .

Найдем эти векторы и рассмотрим отношения их соответствующих координат, поскольку известно, что у коллинеарных векторов координаты пропорциональны.

В данном случае

Нетрудно видеть, что çç , так как

,

Векторы и не являются коллинеарными, поскольку их соответствующие координаты не пропорциональны:

Следовательно, ABCD - трапеция, так как

çç , çç .

О т в е т: ABCD - трапеция.

П р и м е р 3. Даны векторы и Найти их скалярное произведение.

Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой (3):

О т в е т:

П р и м е р 4. Угол между векторами и равен . Известны длины векторов: ç ç=4; ç ç=5. Найти длину вектора

Р е ш е н и е. Воспользуемся тем, что длина вектора равна квадратному корню из скалярного квадрата этого вектора:

ç ç=

О т в е т: ç ç=7.

П р и м е р 5. Даны векторы

и

Найти длину их векторного произведения.

Р е ш е н и е. Поскольку векторы заданы координатами, найдем их векторное произведение по формуле (6):

= .

Найдем теперь длину полученного вектора:

ç ç= .

О т в е т: .

П р и м е р 6. Даны точки А (2;0;3), В (4;1;2) и С (1;-3;2).

Найти площадь треугольника АВС.

Р е ш е н и е. Известно, что площадь треугольника, построенного на векторах и , численно равна половине длины векторного произведения ç ç.

Найдем векторы и , на которых построен треугольник АВС:

(4-2;1-0;2-3)=(2;1;-1),

(1-2;-3-0;2-3)=(-1; -3; -1).

Следовательно, по формуле (6) вычисляем:

= .

Отсюда получаем:

ç ç= .

Поэтому искомая площадь равна:

ç ç= .

О т в е т: .

П р и м е р 7. Показать, что точки А (3;2;1), В (5;1;3), С (4;4;-2) и (6;-2;8) лежат в одной плоскости.

Р е ш е н и е. Если точки А, В, С и D лежат в одной плоскости, то векторы и компланарны.

Это можно выяснить, вычислив их смешанное произведение, поскольку известно, что три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

Итак, найдем координаты векторов , и вычислим по формуле (7) их смешанное произведение:

;

;

;

.

Следовательно, точки А (3;2;1), В (5;1;3), С (4;4;-2) и

(6;-2;8) лежат в одной плоскости.

О т в е т: точки А, В, С и D лежат в одной плоскости.

Дата добавления: 2015-06-25