П р и м е р ы

1. Найти длину и направление (направляющие косинусы) вектора

, если

2. Проверить коллинеарность векторов:

Выяснить, как они направлены относительно друг друга; какой из них длиннее и во сколько раз.

3. Даны точки: и .

Доказать, что ABCD - трапеция.

4. Найти разложение вектора по векторам

и

5. Найти скалярное произведение , если

6. Даны векторы:

Найти угол между векторами и

7. Векторы и образуют угол ç ç= ç ç=1.

Найти угол между векторами и , если

8. Даны четыре точки:

Доказать, что диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны.

9. Даны векторы:

.

Найти проекцию вектора на направление вектора

.

10. Найти проекцию вектора =(5;1;-1) на ось, составляющую

с координатными осями равные острые углы.

11. Известны длины векторов ç ç=5, ç ç=6, а также угол между ними . Найти длину их векторного произведения.

12. Даны векторы:

и

Найти длину и направление (направляющие косинусы) их векторного произведения.

13. Найти длину векторного произведения векторов и , если известно, что

ç ç=10, ç ç=2, 12.

14. Даны два вектора: . Известно, что

ç ç=2, ç ç=3, .

Найти:

1) ; 2) .

15. Даны точки А (2;3;1), В (4;4;0) и С (3;1;-1). Найти:

1) 3) площадь

2) 4) высоту в

16. Найти смешанное произведение векторов , и , если:

1)

2)

17. ç ç=6, ç ç=3, ç ç=3, Найти

18. Установить, компланарны ли векторы:

1) ;

2) ;

3) .

19. Даны точки: А (1;3;5), В (2;-1;0), С (3; -2; -3) и D (0;1; -1). Найти объем пирамиды DАВС и длину ее высоты DO.

20. Доказать, что точки

А (1;1;5), В (2;3;6), С (4; -1;0) и D (3;0;2)

лежат в одной плоскости. Найти площадь четырехугольника АВСD.

21. Найти объем параллелепипеда , если известны точки А (2; -1;1), В (5;5;4), С (3;2; -1), (4;1;3).

22. Даны три вершины тетраэдра:

А (2;-1;4), В (0;1;3), С (-5;0;1).

Объем тетраэдра равен 7. Найти его четвертую вершину D, если известно, что она лежит на оси абсцисс.

♦ ♦ ♦

23. Может ли некоторый вектор образовать с осями координат углы:

1)

2) ?

24. Найти разложение вектора по векторам

и

25. Векторы и образуют угол . Зная, что

ç ç=3, ç ç=4, вычислить:

1) 2)

3)

4) ç ç; 5) .

26. Вектор коллинеарен вектору =(2;3;-6) и составляет с осью Oy тупой угол. Найти координаты вектора , если его длина равна 21.

27. Проверить, что является равнобедренным, если

,

Найти углы треугольника.

28. Даны точки: А (-4;-2;3) и В (5;-2;2). Найти проекцию вектора на ось, составляющую с осями Ox и Oy, соответственно, углы и , а с осью Oz тупой угол .

29. Даны векторы: и .Найти:

1) 2) ç ç; 3) ;

4) .

30. Даны точки: и .

Найти:

1) ;

2) .

31. Известно, что ç ç=3, ç ç=4, . Найти длины векторов:

1) ; 2) .

32. Даны векторы и Найти:

1) ; 3) ;

2) ; 4) .

33. Даны точки: . Найти вектор

.

34. Даны вершины треугольника АВС:

.

Найти площадь треугольника АВС и его высоту ВD.

35. Найти вектор , перпендикулярный векторам и

, удовлетворяющий условию:

36. Найти смешанное произведение векторов , и , если:

1) ;

2) .

37. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах

; и .

38. Векторы , и , образующие правую тройку, взаимно перпендикулярны. Зная, что ç ç=4, ç ç=2, ç ç=3, вычислить их смешанное произведение .

39. Объем тетраэдра равен 5, три его вершины известны:

, и .

Найти его четвертую вершину D, если она лежит на оси .

40. Доказать, что точки

А (1;2;-1), В (0; 1;5), С (-1; 2; 1) и D (2;1; 3)

являются вершинами параллелограмма. Найти углы и площадь этого параллелограмма.

Дата добавления: 2015-06-25