Подобие гидродинамических процессов. Метод размерностей

Основы гидродинамического подобия. Геометрическое подобие, кинематическое подобие и динамическое подобие. Некоторые аспекты практического применения подобия гидродинамических явлений.

Несмотря на высокий уровень развития современной гидродинамической теории, далеко не все задачи могут быть решены теоретически с достаточной для практических целей точностью. Многие задачи приходится решать экспериментально. При создании современных гидравлических и газодинамических машин, приборов, летательных аппаратов, сооружений и т. п. гидродинамический расчет является важнейшим и обязательным этапом проектирования, но все же результирующая оценка качеств и характеристик создаваемой машины или сооружения производится на основе экспериментальных испытаний модели или натурного объекта. Роль гидродинамического эксперимента велика, и существует обширный раздел МЖиГ, составляющий в значительной степени самостоятельную дисциплину - экспериментальную гидродинамику.

Рис. 14.1 Схемы для объяснения геометрического и кинематического подобия потоков

При постановке гидродинамического эксперимента одним из основных является вопрос о том, каким правилам должна быть изготовлена модель испытуемого объекта и по каким зависимостям следует пересчитать данные опытов, чтобы получить достоверное описание натурного гидродинамического явления. На этот вопрос дает ответ раздел гидромеханики, называемый теорией подобия, которая по существу является теоретической основой эксперимента. Кроме того, теория подобия дает метод построения рациональной структуры теоретических зависимостей и комбинаций, входящих в них параметров, чем облегчается анализ и получение обобщенных выводов из теоретических решений.

В теории подобия различают геометрическое подобие являющееся подобием границ областей течений, кинематическое подобие, под которым подразумевают, подобие полей местной скорости, и динамическое подобие, являющееся подобием сил. Дадим более полное их определение.

Пусть имеется натурный объем (поток) (рис. 14.1), подлежащий гидродинамическому исследованию, и его модель. Все параметры натурного потока будем отмечать индексом 1, а модельного ‑ индексом 2. Чтобы получить область течения, геометрически подобную натурному поток, разделим все линейные размеры последнего на некоторое число ‑ линейный масштаб и полученные результаты примем за соответствующие линейные размеры модельного потока. Число выбирают из практических соображений, которые диктуются, например, производственными возможностями лаборатории.

Таким образом, получаем связь между геометрическими параметрами и потоков 1 и 2:

,

Линейные размеры, связанные соотношением, называют соответственными или сходственными. Точки, координаты которых удовлетворяют этому соотношению, называют сходственными.

Модельный поток 2, геометрические параметры которого удовлетворяют условию, назовем геометрически подобным потоку 1. Иначе можно сказать, что два потока будут геометрически подобными, если любой линейный размер одного из них можно получить из линейного размера другого путем умножения на постоянный множитель.

Если в потоке 1 выбрать характерный линейный размер , то в потоке 2, геометрически подобном, ему будет соответствовать сходственный размер . Приняв и за единицы измерения всех линейных величин в соответствующих потоках, найдем безразмерные отношения

которые, в частности, могут быть безразмерными координатами некоторых точек. Поскольку

и

ясно, что . Следовательно, безразмерные координаты сходственных точек одинаковы.

Допустим теперь, что потоки 1 и 2 геометрически подобны. Обозначим через и скорости в их сходственных точках, а через и , их одноименные проекции на i -ю ось координат. Если отношение

,

одинаково для любой пары сходственных точек, то потоки 1 и 2 будем считать кинематически подобными.

Для неустановившегося течения условие должно выполняться в моменты Времени, которые называются сходственными и определяются соотношением

где и , ‑ интервалы времени, отсчитываемые от момента начала движения или иного условного начала отсчета времени; ‑ масштаб времени.

Нетрудно убедиться, что из кинематического подобия потоков вытекает геометрическое подобие их линий тока. Действительно, линии тока в потоках 1 и 2 определяются уравнениями

Если имеет место кинематическое подобие, то

Это соотношение означает, что углы наклона касательных к линиям тока в сходственных точках одинаковы для обоих потоков, а это и есть геометрическое подобие линий тока. Для установившихся потоков это будет одновременно и геометрическим подобием траекторий жидких частиц.

Кинематическое подобие можно определить и несколько иначе. Если и ‑ малые интервалы времени, за которые жидкие частицы проходят сходственные отрезки путей, то

откуда масштаб времени

Если = const, то и = const, так как m_l = const, что соответствует определению кинематического подобия. Поэтому иногда кинематически подобными называют потоки, для которых отношение отрезков времени, затрачиваемых жидкими частицами для прохождения сходственных отрезков Путей, постоянно.

Предоставляем читателю возможность самостоятельно убедиться, что если выбрать характерные значения скоростей ₁ и ₂, то при кинематическом подобии безразмерные скорости в сходственных точках одинаковы:

Или

Рассмотрим далее какую-либо пару сходственных точек и обозначим проекции на координатные оси равнодействующих сил черезF_1t и F_2t . Если

есть величина постоянная для любой пары сходственных точек, то потоки 1 и 2 называют динамически подобными.

Не обязательно под F_1t и F_2t подразумевать равнодействующие; это могут быть силы какой-либо определенной физической природы. Тогда приведенное определение будет выражать подобие данной категории сил. Можно убедиться, что безразмерные значения сил в динамически подобных потоках одинаковы. Заметим еще, что поскольку это выражение относится к любой из трех составляющих силы F, то этим определяется подобие векторов сил, действующих в сходственных точках.

Из изложенного следует, что кинематическое динамическое подобия могут существовать только при наличии геометрического подобия. Поэтому дальше речь пойдет только потоках, для которых геометрическое подобие заведомо обеспечено.

Если для какой-либо группы гидродинамических явлений имеет место кинематическое и динамическое подобие, то их называют механически подобными. Механическое подобие является частным случаем общего подобия физических процессов, которое можно определить для тепловых, электрических, упругих и других явлений.

Сформулируем условия, необходимые и достаточные для существования механического подобия, на примере изотермического течения несжимаемой вязкой жидкости.

Из определений кинематического и динамического подобий следует, что если они обеспечены, то безразмерные координаты сходственных точек, скорости и силы одинаковы. Нетрудно убедиться, что безразмерные ускорения и плотности также равны в сходственных точках. Иначе, все физические параметры механически подобных потоков, представленные в безразмерном виде для сходственных точек, одинаковы. Можно, наконец, сделать вывод, что безразмерные поля физических параметров таких потоков одинаковы. Одинаковость безразмерных значений физических параметров можно было бы принять за определение механического подобия и вывести из него первоначальную формулировку.

Физические параметры в любом из потоков связаны системой дифференциальных уравнений, описывающих движение. Но если речь идет о механически подобных потоках, для которых безразмерные параметры одинаковы, то сами уравнения, представленные в безразмерном виде, должны быть одинаковыми. Действительно, дифференциальные уравнения движения связывают между собой мгновенные значения физических параметров движения. Но если безразмерные выражения этих параметров одинаковы в подобных потоках, то, поскольку связывающие их уравнения имеют общий характер, т. е. выполняются для произвольных пространственно-временных точек, эти уравнения должны быть одинаковыми.

Заметим, что для существования подобия необходимо, чтобы рассматриваемые процессы были качественно одинаковыми. Можно, например, рассмотреть движение в одном и том же канале несжимаемой жидкости и газа при сверхзвуковых скоростях. Эти течения качественно различны потому, что при движении газа существенно проявляется его сжимаемость и изменение температуры, и описывающие его уравнения будут содержать члены, которых не будет в уравнениях несжимаемой жидкости. Поэтому дифференциальные уравнения этих двух процессов различны, даже после приведения к безразмерному виду.

Наряду с этим существуют качественно различные явления, описываемые одинаковыми по форме уравнениями. Такие явления называют аналогиями.

Совокупность параметров, определяющих какой-либо гидродинамический процесс, можно рассматривать как конкретное решение дифференциальных уравнений этого процесса. Ему соответствуют вполне определенные начальные и граничные условия. Они представляют собой зависимости или константы, определяющие физические параметры в начальный момент и на границах во время движения. Следовательно, не только уравнения процесса, но также безразмерные формы начальных и граничных условий в механически подобных потока должны быть одинаковыми. Иначе это в виду, запишем уравнении Навье ‑ Стокса и приведем иск безразмерному виду, для чего выберем характерные физически параметры L, , Т, Р, F₀ (если F ‑ сила тяжести, то в качестве F₀ удобно взять ускорение свободного падения) и отнесем к ним соответствующие размерные величины:

Для плотности и вязкости, которые считаем постоянными, характерные величины не выбиваем, так как они сами ими являются. Примем также во внимание размерность дифференциальных операторов и grad:

Векторное уравнение Навье - Стокса теперь можно представить в виде

Чтобы придать этому уравнению безразмерный вид, разделим все его члены на коэффициент V=L при конвективном ускорении. Получим

где все дифференциальные операции выполняются по безразмерным переменным. В этом уравнении се члены, включая комбинации характерных параметров, безразмерны. Для всех динамически подобных потоков оно должно быть одинаковым, а следовательно, необходимо, чтобы коэффициента каждого из членов для этой группы потоков были одинаковым, т. е.

Входящие в условия безразмерные комплексы играют роль критериев подобия и имеют следующие собственные наименования: V²/ (F₀L) = Fr ‑ число Фруда; P/(ρ V²) = ‑ число Эйлера; VL/v = Re ‑ число Рейнольдса; L/(VT) = ‑ число Струхала (вместо обозначения иногда употребляют обозначение Н и называют его числом гомохронности).

Теперь условия можно записать в виде

Fr = idem; = idem; Re = idem; = idem.

Суммируя изложенное, можно констатировать, что одинаковые безразмерные дифференциальные уравнения, описывающие группу гидродинамических процессов, вместе с безразмерными условиями однозначности (начальными и граничными условиями), а также одинаковые значения критериев подобия являются необходимыми условиями механического подобия. Доказать их достаточность удается не во всех случаях, так как это связано с вопросом о существовании и единственности решений уравнений Навье ‑ Стокса.

Дата добавления: 2015-06-26