Теорема. Абсолютно сходящиеся ряды комплексных чисел

Доказательство.

Теорема.

Абсолютно сходящиеся ряды комплексных чисел.

Ряд комплексных чисел (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (2).

Всякий абсолютно сходящийся ряд (1) комплексных чисел сходится.

Очевидно, нам достаточно установить, что для ряда (1) выполняются условия критерия Коши сходимости ряда. Возьмем любое . В силу абсолютной сходимости ряда (1), ряд (2) сходится. Поэтому для выбранного , что при любом n > N и р=1,2,… будет выполняется неравенство , но , а тем более будет выполняться неравенство при любом n > N и p=1,2,… Следовательно для ряда (1) выполняются условия критерия Коши сходимости комплексного ряда. Поэтому ряд (1) сходится. Теорема справедлива.

Для того, чтобы ряд комплексных чисел (1) был абсолютно сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы абсолютно сходились вещественные ряды (3) и (4), где W_n = u_n+i·v_n (n = 1, 2,…).

Дата добавления: 2015-06-26